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[D�monstration]
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}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� --
%%--Corrig� du document N� 13119864855024--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Sujet National 1998 S\'{e}rie S}}\\[0pt]{\textbf{Solution}} }
\end{center}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction de r\'{e}partition. Elle est d\'{e}finie par :
\[
F\left(  x\right)  =P\left(  X\leqslant x\right)
\]
On obtient alors :
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\text{Si }x<0\quad F\left(  x\right)  =0\\
\text{Si }0\leqslant x<1\quad F\left(  x\right)  =0,1\\
\text{Si }1\leqslant x<2\quad F\left(  x\right)  =0,6\\
\text{Si }2\leqslant x\quad F\left(  x\right)  =1
\end{array}
\right.
\]


\item $E\left(  X\right)  =1,3$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$)$=$P(C$_{1}$)$\times$P(E/C$_{1}%
$)$=0,5\times0,7=0,35.$

\item $\text{P(E}/\text{C}_{2}$)$=$C$_{2}^{1}\times$P(E)$\times$%
P(G)$=2\times0,7\times0,3=0,42$\newline P($\text{C}_{2}\cap\text{E}$%
)$=$p(C$_{2}$)$\times$P(E/C$_{2}$)$=0,4\times0,42=0,168$.

\item P(E)$=$P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$)$+$P($\text{C}_{2}\cap\text{E}%
$)$=0,35+0,168=0,518$ en utilisant la formule des probabilit\'{e}s totales.
\end{enumerate}

\item Y peut prendre les valeurs $0,$ $1$ ou $2.$ La loi de probabilit\'{e} de
Y est donn\'{e}e par le tableau suivant :
\[%
\begin{tabular}
[c]{|l|l|l|l|}\hline
Y & $0$ & $1$ & $2$\\\hline
P(Y) & $0,286$ & $0,518$ & $0,196$\\\hline
\end{tabular}
\]

\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item Pour $z\neq1$, on a :
\[
\frac{z-2}{z-1}=z\Leftrightarrow z-2=z\left(  z-1\right)  \Leftrightarrow
z^{2}-2z+2=0
\]
Cette \'{e}quation admet deux solutions :
\begin{align*}
z_{1}  &  =1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\\
z_{2}  &  =1-i=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}%
\end{align*}


\item Pour $z\neq1$, on a :
\[
\frac{z-2}{z-1}=i\Leftrightarrow z-2=i\left(  z-1\right)  \Leftrightarrow
z=\frac{2-i}{1-i}=\frac{3}{2}+\frac{i}{2}%
\]


\item
\begin{enumerate}
\item $\left|  {\frac{z-2}{z-1}}\right|  =\frac{BM}{AM}$ et $\arg\left(
{\frac{z-2}{z-1}}\right)  =\left(  \overrightarrow{AM},\overrightarrow
{BM}\right)  .$

\item Sachant que $i$ a pour module $1$ et pour argument $\frac{\pi}{2},$
l'\'{e}quation (2) \'{e}quivaut \`{a} :
\[
\frac{BM}{AM}=1\text{ et }\left(  \overrightarrow{AM},\overrightarrow
{BM}\right)  =\frac{\pi}{2}+k2\pi\text{ }\left(  k\in\mathbb{Z}\right)
\]
Ceci entra\^{\i}ne que $M$ appartient \`{a} la m\'{e}diatrice de $\left[
AB\right]  $ et que $M$ appartient au demi-cercle de diam\`{e}tre $\left[
AB\right]  $ situ\'{e} dans la partie du plan d\'{e}finie par $y\geqslant0.$
L'intersection de ces deux ensembles redonne bien g\'{e}om\'{e}triquement le
point d'affixe $\frac{3}{2}+\frac{i}{2}.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $1=\left|  i\right|  =\left|  \left(  \frac{z-2}{z-1}\right)
^{n}\right|  =\left|  \frac{z-2}{z-1}\right|  ^{n}=\left(  \frac{BM}%
{AM}\right)  ^{n}.$\newline Comme $\frac{BM}{AM}$ est un r\'{e}el positif, on
en d\'{e}duit que $\frac{BM}{AM}=1, $ donc que $M$ appartient \`{a} la
m\'{e}diatrice de $\left[  AB\right]  ,$ et donc que $M$ a pour partie
r\'{e}elle ${\frac{3}{2}}$.

\item Pour $z\neq1,$ on a :
\[
\left(  \frac{z-2}{z-1}\right)  ^{2}=i\Leftrightarrow\left(  z-2\right)
^{2}=i\left(  z-1\right)  ^{2}\Leftrightarrow\left(  1-i\right)  z^{2}+\left(
2i-4\right)  z+4-i=0
\]
On pose alors $z=\frac{3}{2}+iy,$ ce qui donne l'\'{e}quation :
\[
\frac{1}{4}-iy-y^{2}+iy^{2}+y+\frac{3}{4}i-i=0
\]
L'annulation des partie r\'{e}elle et imaginaire entra\^{\i}ne que :
\[
y^{2}-y-\frac{1}{4}=0
\]
d'o\`{u} apr\`{e}s r\'{e}solution l'ensemble des solutions :
\[
S=\left\{  \frac{3}{2}+i\left(  \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)  ,\frac{3}%
{2}+i\left(  \frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)  \right\}
\]
\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
[Probl\`{e}me]\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item $h^{\prime}\left(  x\right)  =\allowbreak\frac{x^{2}}{\left(
1+x\right)  \left(  x+2\right)  ^{2}}\geqslant0,$ donc $h$ est croissante sur
$[0;+\infty\lbrack$ et $h(0)=0.$

\item On en d\'{e}duit que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul, $h\left(
x\right)  \geqslant0,$ d'o\`{u} l'in\'{e}galit\'{e}
\[
{{\frac{2x}{x+2}\leqslant\ln(1+x)}}%
\]


\item C et $\Gamma$ admettent en O une m\^{e}me tangente D d'\'{e}quation
$y=x.$
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\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ de $[0;+\infty\lbrack$ , $f_{1}^{\prime}(x)=\frac{-x}%
{1+x}\leqslant0,$ donc $f_{1}$ est d\'{e}croissante sur cet intervalle.

\item Par factorisation :
\[
f_{1}\left(  x\right)  =\left(  x+1\right)  \left(  \frac{\ln\left(
1+x\right)  }{1+x}-\frac{x}{1+x}\right)
\]
Or $\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{\ln X}{X}=0,$ et $\lim_{x\rightarrow
+\infty}\frac{x}{1+x}=1,$ donc $\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{1}\left(
x\right)  =-\infty.$ De plus, $f_{1}\left(  0\right)  =0$.

\item Pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul, $f_{1}\left(  x\right)
\leqslant0,$ ce qui entra\^{\i}ne bien que :
\[
{\ln(1+x)\leqslant x}%
\]


\item Remarquons que si $k\geqslant1$, alors $x\leqslant kx.$
L'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente fournit alors le r\'{e}sultat.

\item $f_{k}^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{1-k-kx}{1+x}.$ Cette
d\'{e}riv\'{e}e s'annule si et seulement si
\[
1-k-kx=0\Longleftrightarrow x=\frac{1-k}{k}\text{ }\left(  k\neq0\right)
\]
Le signe de $f_{k}^{\prime}\left(  x\right)  $ est celui de $\left(
1-k-kx\right)  $ car $1+x>0$ pour $x\in\mathbb{R}_{+}.$ Cette fonction affine
change de signe pour $\frac{1-k}{k},$ qui appartient \`{a} $\mathbb{R}_{+}.$
La fonction $f_{k}$ est donc strictement croissante sur $\left[  0,\frac
{1-k}{k}\right]  ,$ et strictement d\'{e}croissante sur $\left[  \frac{1-k}%
{k},+\infty\right[  .$ On remarque alors que $f_{k}\left(  \frac{1-k}%
{k}\right)  >0 $ d'apr\`{e}s la stricte croissance de la fonction $f_{k}$ sur
$\left[  0,\frac{1-k}{k}\right]  ,$ ce qui prouve que dans ce cas
l'in\'{e}galit\'{e}
\[
\ln\left(  1+x\right)  \leqslant kx
\]
n'est pas toujours v\'{e}rifi\'{e}e pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+}.$

\item Les valeurs de $k$ strictement positives telles que pour tout
$x\geqslant0,\,f(x)\leqslant kx$ appartiennent donc \`{a} l'intervalle
$\left[  1,+\infty\right[  $ d'apr\`{e}s les questions pr\'{e}c\'{e}dentes.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item On obtient successivement :%
\[
I=\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx.=\allowbreak2\ln2-1\newline%
\]%
\[
{\text{J}=\int_{0}^{1}\left(  x-\ln(1+x)\right)  dx}=\allowbreak\frac{3}%
{2}-2\ln2\newline%
\]%
\[
{\text{K}=\int_{0}^{1}\left(  \ln(1+x)-\frac{2x}{x+2}\right)  dx}%
=\allowbreak-2\ln2-3+4\ln3\newline%
\]
La justification demand\'{e}e est \'{e}vidente si l'on remaque que :
\[
{\frac{2x}{x+2}=}\frac{\left(  2x+4\right)  -4}{x+2}={2-\frac{4}{2+x}}%
\]
Comme la droite D est situ\'{e}e au-dessus de la courbe C, on peut dire que J
est l'aire comprise entre C, D et les droites verticales d'\'{e}quation $x=0$
et $x=1.$ De m\^{e}me, K est l'aire comprise entre C, $\Gamma$ et les droites
verticales d'\'{e}quation $x=0$ et $x=1.$

\item
\begin{enumerate}
\item $u$ est par th\'{e}or\`{e}me de cours continue sur $\left]  0;1\right]
. $ De plus,
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1=u\left(  0\right)
\]
donc $u$ est continue en $0,$ donc continue sur $\left[  0;1\right]  .$

\item D'apr\`{e}s la partie A, pour tout $x$ de $\left]  0;+\infty\right[  $
:
\[
\frac{2x}{x+2}\leqslant\ln\left(  1+x\right)  \leqslant x\Longrightarrow
\frac{2}{x+2}\leqslant\frac{\ln\left(  1+x\right)  }{x}\leqslant
1\Longrightarrow\frac{2}{x+2}\leqslant u\left(  x\right)  \leqslant1
\]
Cette in\'{e}galit\'{e} est aussi valable pour $x=0$ car $u\left(  0\right)
=1.$ Donc pour tout $x$ de $\left[  0;1\right]  ,$ on a :
\[
\frac{2}{x+2}\leqslant u\left(  x\right)  \leqslant1\Longrightarrow\int
_{0}^{1}\frac{2}{x+2}dx\leqslant\int_{0}^{1}u\left(  x\right)  \,dx\leqslant
\int_{0}^{1}1\,dx
\]
puisque $0\leqslant1.$ On en d\'{e}duit bien l'encadrement cherch\'{e}. Le
calcul des int\'{e}grales donne l'encadrement :
\[
2\ln3-2\ln2\leqslant L\leqslant1.
\]
Une valeur approch\'{e}e de L \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s est donc par exemple
$0,9.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}