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[D�monstration]
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� --
%%--Corrig� du document N� 13124195170817--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE AMERIQUE DU NORD 2000\bigskip}

{\Large ELEMENTS DE SOLUTION}
\end{center}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item a) On utilise les relations du cours :%
\[
\left|  z^{\prime}\right|  =\left|  -\frac1z\right|  =\frac1{\left|  z\right|
}%
\]
Modulo $2\pi$, on a pour les arguments :%
\[
\arg\left(  z^{\prime}\right)  =\arg\left(  -1\right)  -\arg\left(  z\right)
=\pi-\arg\left(  z\right)
\]
b) Comme $M_{1}$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon 2, on a
$\left|  z_{1}\right|  =2$, d'o\`u $\left|  z_{1}^{\prime}\right|  =\frac12$,
ce qui prouve que $M_{1}^{\prime}$ appartient au cercle de centre $O$ et de
rayon $\frac12$. Soit $M_{1}^{\prime\prime}$ l'intersection de ce cercle avec
le segment $\left[  OM_{1}\right]  $. D'apr\`es la relation sur les arguments
:%
\[
\left(  \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM_{1}^{\prime}}\right)
=\pi-\left(  \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)  =\pi-\left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{OM_{1}^{\prime\prime}}\right)
\]
Comme de plus
\[
OM_{1}^{\prime}=OM_{1}^{\prime\prime}=\frac12
\]
On peut dire que les points $M_{1}^{\prime}$ et $M_{1}^{\prime\prime}$ sont
sym\'etriques par rapport \`a l'axe $\left(  O;\overrightarrow{v}\right)  $.
La construction du milieu est imm\'ediate.

\item a) On a facilement :%
\[
z_{I}=\frac12\left(  e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)  =i\sin\theta
\]
b) Le point $M_{2}^{\prime}$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1
$, c'est \`a dire $\left(  C\right)  $. La relation sur les arguments prouve,
comme \`a la question pr\'ec\'edente, que $M_{2}^{\prime}$ est le sym\'etrique
de $M_{2}$ par rapport \`a l'axe des ordonn\'ees, et donc que $I_{2} $ est le
projet\'e orthogonal de $M_{2}$ sur l'axe des ordonn\'ees.\newline c) Soient
$B$ et $B^{\prime}$ les points d'affixes respectives $i$ et $\left(
-i\right)  $. Le point $I$ d\'ecrit le segment $\left[  BB^{\prime}\right]  $.

\item a) R\'esolvons l'\'equation :%
\[
z=\frac12\left(  z-\frac1z\right)  \Leftrightarrow2z^{2}=z^{2}%
-1\Leftrightarrow z^{2}=-1
\]
Cette \'equation admet deux solutions $i$ et $\left(  -i\right)  $, donc les
points cherch\'e sont $B$ et $B^{\prime}$.\newline b) On a :%
\[
\left(  z-2i\right)  ^{2}+3=z^{2}-4iz-1
\]
On r\'esout l'\'equation :%
\[
2i=\frac12\left(  z-\frac1z\right)  \Leftrightarrow z^{2}%
-4iz-1=0\Leftrightarrow\left(  z-2i\right)  ^{2}+3=0
\]
On utilise une identit\'e remarquable, en \'ecrivant que $3=-\left(  \sqrt
{3}i\right)  ^{2}$. L'\'equation est \'equivalente \`a%
\[
\left(  z-2i+i\sqrt{3}\right)  \left(  z-2i-i\sqrt{3}\right)  =0
\]
Il existe donc deux points qui v\'erifient la condition demand\'ee, \`a savoir
les points $C$ et $C^{\prime}$ d'affixes
\[
z_{C}=2i+i\sqrt{3}\quad z_{C^{\prime}}=2i-i\sqrt{3}%
\]


\item a) En utilisant le conjugu\'{e} du d\'{e}nominateur :%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
z_{I}=\frac{1}{2}\left(  x+iy-\frac{x-iy}{\left(  x+iy\right)  \left(
x-iy\right)  }\right) \\
=\frac{1}{2}\left(  \frac{\left(  x+iy\right)  \left(  x^{2}+y^{2}\right)
-\left(  x-iy\right)  }{x^{2}+y^{2}}\right) \\
=\frac{1}{2}\left(  \frac{x^{3}+xy^{2}-x+i\left(  yx^{2}+y^{3}+y\right)
}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{array}
\]
soit
\[
Re\left(  z_{I}\right)  =\frac{1}{2}\left(  \frac{x^{3}+xy^{2}-x}{x^{2}+y^{2}%
}\right)  \quad Im\left(  z_{I}\right)  =\frac{1}{2}\left(  \frac{yx^{2}%
+y^{3}+y}{x^{2}+y^{2}}\right)
\]
b) $I$ appartient \`{a} l'axe des abscisses si et seulement sa partie
imaginaire est nulle, ce qui \'{e}quivaut \`{a}
\[
yx^{2}+y^{3}+y=0\Leftrightarrow y\left(  x^{2}+y^{2}+1\right)  =0
\]
Cette \'{e}quation admet pour solution $y=0$, ce qui prouve que l'ensemble $A
$ est l'axe des abscisses priv\'{e} de l'origine.\newline c) $I$ appartient
\`{a} l'axe des ordonn\'{e}es si et seulement sa partie r\'{e}elle est nulle,
ce qui \'{e}quivaut \`{a}
\[
x^{3}+xy^{2}-x=0\Leftrightarrow x\left(  x^{2}+y^{2}-1\right)  =0
\]
Cette \'{e}quation admet pour solution $x=0$ ou $x^{2}+y^{2}-1=0$, ce qui
prouve que l'ensemble $B$ est la r\'{e}union de l'axe des ordonn\'{e}es et du
cercle $\left(  C\right)  $ priv\'{e}e de l'origine.\bigskip
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item a) Dans le rep\`ere propos\'e, \'ecrivons les coordonn\'ees des points
$D$, $M$ et $L$%
\[
D\left(  0,0,1\right)  \quad M\left(  a,0,0\right)  \quad L\left(
0,a,0\right)
\]
On en d\'eduit
\[
\overrightarrow{DM}\left(  a,0,-1\right)  \quad\overrightarrow{DL}\left(
0,a,-1\right)
\]
et d'apr\`es les formules du produit vectoriel :%
\[
\overrightarrow{DM}\wedge\overrightarrow{DL}\left(  a,a,a^{2}\right)
\]
b) L'aire $A_{1}$ du triangle $DLM$ s'exprime \`a l'aide du produit vectoriel
:%
\[
A_{1}=\frac{\left\|  \overrightarrow{DM}\wedge\overrightarrow{DL}\right\|
}2=\frac{\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{4}}}2=\frac{a\sqrt{2+a^{2}}}2
\]
c) On a $B\left(  1,1,0\right)  $ et $F\left(  1,1,1\right)  $ donc la
relation vectorielle
\[
\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow
{OB}+a\overrightarrow{BF}%
\]
permet en travaillant sur les coordonn\'ees de trouver $K\left(  1,1,a\right)
$. Il suffit alors de calculer les produits scalaires :%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
\overrightarrow{OK}.\overrightarrow{DL}=1\times0+1\times a+a\times\left(
-1\right)  =0\\
\overrightarrow{OK}.\overrightarrow{DM}=1\times a+1\times0+a\times\left(
-1\right)  =0
\end{array}
\]
pour v\'erifier que $\left(  OK\right)  $ \'etant orthogonale \`a $\left(
DL\right)  $ et $\left(  DM\right)  $ est donc orthogonale au plan $\left(
DLM\right)  $.

\item a) On remarque que comme $H$ et $M$ appartiennent au plan $\left(
DLM\right)  $, la droite $\left(  HM\right)  $ est donc orthogonale \`a la
droite $\left(  OK\right)  $ et donc que
\[
\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK}=0
\]
La relation de Chasles fournit alors :%
\[
\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OK}=\left(  \overrightarrow{OH}%
+\overrightarrow{HM}\right)  .\overrightarrow{OK}=\overrightarrow
{OH}.\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{HM}.\overrightarrow{OK}%
=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK}%
\]
b) Comme $M\left(  a,0,0\right)  $ et $K\left(  1,1,a\right)  $, on a :%
\[
\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OK}=a
\]
De plus
\[
\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK}=\lambda\overrightarrow{OK}%
.\overrightarrow{OK}=\lambda\left(  1^{2}+1^{2}+a^{2}\right)  =\lambda\left(
2+a^{2}\right)
\]
L'\'egalit\'e des deux produits scalaires donne la relation cherch\'ee. Le
trin\^ome $\left(  a^{2}-a+2\right)  $ ayant un discriminant n\'egatif est de
signe constant positif. On a donc :%
\[
a^{2}-a+2>0\Rightarrow a^{2}+2>a\Rightarrow1>\frac a{a^{2}+2}>0
\]
puisque $a$ est un r\'eel positif. Ceci \'etablit bien que $H$ appartient au
segment $\left[  OK\right]  $.\newline c) On utilise la relation
\[
\overrightarrow{OH}=\frac a{a^{2}+2}\overrightarrow{OK}%
\]
pour trouver les coordonn\'ees de $H$ :%
\[
H\left(  \frac a{a^{2}+2},\frac a{a^{2}+2},\frac{a^{2}}{a^{2}+2}\right)
\]
d) Par la relation de Chasles :%
\[
\overrightarrow{HK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OH}=\overrightarrow
{OK}-\frac a{a^{2}+2}\overrightarrow{OK}=\left(  \frac{a^{2}-a+2}{a^{2}%
+2}\right)  \overrightarrow{OK}%
\]
Passons \`a la norme :%
\[
HK=\left\|  \overrightarrow{HK}\right\|  =\left|  \frac{a^{2}-a+2}{a^{2}%
+2}\right|  \times\left\|  \overrightarrow{OK}\right\|  =\left|  \frac
{a^{2}-a+2}{a^{2}+2}\right|  \times\sqrt{2+a^{2}}%
\]
On remarque que
\[
a^{2}-a+2>0\quad a^{2}+2>0
\]
ce qui entra\^\i ne la positivit\'e du quotient, et donc les simplifications :%
\[
HK=\left(  \frac{a^{2}-a+2}{a^{2}+2}\right)  \times\sqrt{2+a^{2}}=\frac
{a^{2}-a+2}{\sqrt{a^{2}+2}}%
\]


\item Soit $V$ le volume du t\'{e}tra\`{e}dre $DLMK$. La formule du volume
fournit :%
\[
V=\frac{1}{3}A_{1}\times HK=\frac{1}{3}\left(  \frac{a\sqrt{2+a^{2}}}%
{2}\right)  \left(  \frac{a^{2}-a+2}{\sqrt{a^{2}+2}}\right)  =\frac{a\left(
a^{2}-a+2\right)  }{6}%
\]
\bigskip
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
[Probl\`{e}me]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie I}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Calculons
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow+\infty
}\left(  1+\frac1x+\frac1{x^{2}}\right)  e^{-\frac1x}=1\times1=1
\]
ce qui prouve bien que la droite d'\'equation $y=1$ est asymptote \`a $\left(
C\right)  $.

\item Pour $x>0$%
\[
\frac{f\left(  x\right)  -f\left(  0\right)  }x=\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}%
}e^{-\frac1x}=\left(  \frac1x+\frac1{x^{2}}+\frac1{x^{3}}\right)  e^{-\frac1x}%
\]
On pose $u=\frac1x$. Il vient :%
\[
\frac{f\left(  x\right)  -f\left(  0\right)  }x=\left(  u+u^{2}+u^{3}\right)
e^{-u}=ue^{-u}+u^{2}e^{-u}+u^{3}e^{-u}%
\]
Si $x$ tend vers $0$, alors $u$ tend vers $+\infty$ ( puisque $x>0$ ). Chaque
terme de la somme a une limite nulle quand $u$ tend vers $+\infty$, et donc
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(  x\right)  -f\left(  0\right)  }x=0
\]
La fonction $f$ est d\'erivable en $0$ et $f^{\prime}\left(  0\right)  =0$. La
courbe $\left(  C\right)  $ admet une tangente horizontale au point d'abscisse
$0$.

\item Par d\'erivation du produit :%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
f^{\prime}\left(  x\right)  =\left[  \frac{\left(  2x+1\right)  x^{2}-\left(
x^{2}+x+1\right)  2x}{x^{4}}\right]  e^{-\frac1x}+\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}%
}\left(  \frac1{x^{2}}\right)  e^{-\frac1x}=\\
=\frac{1-x}{x^{4}}e^{-\frac1x}%
\end{array}
\]


\item Le signe de $f^{\prime}\left(  x\right)  $ est donc celui de $\left(
1-x\right)  $, d'o\`{u} le tableau de variations :%
\[%
\begin{tabular}
[c]{c|ccccc}%
$x$ & $0$ &  & $1$ &  & $+\infty$\\\hline
$f^{\prime}\left(  x\right)  $ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\\hline
&  &  & $\frac{3}{e}$ &  & \\
$f\left(  x\right)  $ &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
&  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Decroissent}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
& \\
& $0$ &  &  &  & $1$%
\end{tabular}
\
\]

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie II}{\subsection*{Partie II}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Pour tout $x>0$, on a :%
\[
g\left(  x\right)  =0\Leftrightarrow f\left(  x\right)  -xf^{\prime}\left(
x\right)  =0\Leftrightarrow f\left(  x\right)  =xf^{\prime}\left(  x\right)
\]
Comme l'exponentielle ne s'annule pas, cette \'equation \'equivaut \`a
\[
\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}}=x\frac{1-x}{x^{4}}\Leftrightarrow\frac{x^{3}%
+x^{2}+2x-1}{x^{4}}=0\Leftrightarrow x^{3}+x^{2}+2x-1=0
\]


\item On pose pour tout $x$ r\'eel :%
\[
\varphi\left(  x\right)  =x^{3}+x^{2}+2x-1
\]
On a :%
\[
\varphi^{\prime}\left(  x\right)  =3x^{2}+2x+2>0
\]
car le discriminant de ce trin\^ome est n\'egatif strictement. La fonction
$\varphi$ est d\'erivable et strictement croissante. Elle d\'efinit donc une
bijection de $\left]  -\infty,+\infty\right[  $ sur $\left]  -\infty
,+\infty\right[  $, intervalle qui contient $0$. Donc l'\'equation
$\varphi\left(  x\right)  =0$ admet une unique racine r\'eelle $\alpha$. Comme
$\varphi\left(  0,39\right)  <0$ et $\varphi\left(  0,40\right)  >0$, on peut
dire que
\[
0,39<\alpha<0,40
\]


\item $f$ est croissante sur $\left[  0,39;0,40\right]  $, donc
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
0,39<\alpha<0,40\Rightarrow f(0,39)<f(\alpha)<f(0,40)\\
\Rightarrow\frac{f(0,39)}{0,40}<\frac{f(\alpha)}\alpha<\frac{f(0,40)}{0,39}\\
\Rightarrow1,9<\frac{f(\alpha)}\alpha<2,1
\end{array}
\]
Remarquons que :%
\[
g\left(  \alpha\right)  =0\Leftrightarrow f\left(  \alpha\right)  =\alpha
f^{\prime}\left(  \alpha\right)  \Leftrightarrow\frac{f\left(  \alpha\right)
}\alpha=f^{\prime}\left(  \alpha\right)
\]
ce qui \'etablit bien la relation demand\'ee.

\item Equation de $\left(  T_{\alpha}\right)  $ :%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
y=f^{\prime}\left(  \alpha\right)  \left(  x-\alpha\right)  +f\left(
\alpha\right) \\
=f^{\prime}\left(  \alpha\right)  x+g\left(  \alpha\right) \\
=Ax
\end{array}
\]%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{3.4688in}{2.642in}{0pt}{}{}{c7s-fig.eps}%
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%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.642in,
width=3.4688in
]%
{Include/i3fayq1d.eps}%
\end{center}
%EndExpansion


\item Equation de $\left(  T_{a}\right)  $ :%
\[
y=f^{\prime}\left(  a\right)  \left(  x-a\right)  +f\left(  a\right)
\]
passe par l'origine du rep\`ere si et seulement si :%
\[
0=f^{\prime}\left(  a\right)  \left(  0-a\right)  +f\left(  a\right)
\Leftrightarrow g\left(  a\right)  =0\Leftrightarrow a=\alpha
\]
puisque la fonction $g$ ne s'annule que pour la valeur $\alpha$ d'apr\`es les
questions pr\'ec\'edentes.

\item a) On trace la droite d'\'equation $y=m$ et on lit le nombre de points
d'intersection :

\begin{itemize}
\item Si $m<0$, pas de solution

\item Si $0\leqslant m\leqslant1$, une unique solution

\item Si $1<m<\frac3e$, deux solutions

\item Si $m=\frac3e$, une solution

\item Si $m>\frac{3}{e}$, pas de solution \newline b) On trace la droite
d'\'{e}quation $y=mx$ et on lit le nombre de points d'intersection :

\item Si $m\leqslant0$, une solution \'{e}gale \`{a} $0$

\item Si $0<m<f^{\prime}\left(  \alpha\right)  $, trois solutions

\item Si $m=f^{\prime}\left(  \alpha\right)  $, une solution

\item Si $m>f^{\prime}\left(  \alpha\right)  $, une solution
\end{itemize}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie III}{\subsection*{Partie III}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Formons :%
\[
u_{n+1}-u_{n}=\int_{\frac{1}{n+1}}^{1}f\left(  x\right)  \,dx-\int_{\frac
{1}{n}}^{1}f\left(  x\right)  \,dx=\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f\left(
x\right)  \,dx
\]
Or, la fonction $f$ est \`{a} valeurs positives sur son domaine de
d\'{e}finition, et donc sur $\left[  \frac{1}{n+1};\frac{1}{n}\right]  $. Son
int\'{e}grale entre des bornes croissantes est donc positive, et donc pour
tout entier nature non-nul $n$ :%
\[
u_{n+1}-u_{n}\geqslant0
\]
Ceci prouve \'{e}videmment que la suite $\left(  u_{n}\right)  $ est croissante.

\item $h$ est d\'erivable sur $\left]  0,+\infty\right[  $, et
\[
h^{\prime}\left(  x\right)  =e^{-\frac1x}+\left(  x+1\right)  \left(
\frac1{x^{2}}e^{-\frac1x}\right)  =e^{-\frac1x}\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}%
}=f\left(  x\right)
\]
ce qui prouve bien le r\'esultat demand\'e.

\item On en d\'eduit :%
\[
u_{n}=h\left(  1\right)  -h\left(  \frac1n\right)  =2e^{-1}-\left(
1+\frac1n\right)  e^{-n}%
\]
Comme $f$ est \`a valeurs positives, $u_{n}$ repr\'esente l'aire, exprim\'ee
en unit\'es d'aires, entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites
d'\'equations $x=\frac1n$ et $x=1$.

\item On trouve facilement que la suite $\left(  u_{n}\right)  $ est
convergente et que :%
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=2e^{-1}%
\]

\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}