%\renewcommand{\theenumi}{\Roman{enumi}}
%\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\theenumiv.}}

\documentclass{article}%
\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{lastpage}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{points}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{theorem}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{afterpage}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{graphicx}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{Created=Saturday, February 28, 2004 15:17:48}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 18:54:34}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Articles\SW\DevoirJFil">}
\geometry{
a4paper,
marginpar=2cm,
lmargin=0cm,
rmargin=2cm,
marginparsep=0pt,
includemp=true,
reversemp=true,
headsep=-0.2in
}
\setlength{\theorempostskipamount}{2\baselineskip}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{  \theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
}
\newcounter{Cack}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem  {acknowledgement}[Cack]{A savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{  \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{Méthode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{   \theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccorr}[section]
\renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction de l'exercice}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{   \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{  \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypothèse}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Critère}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{Définition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{   \theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}
{\Roman{Cprob}.}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
{   \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newcounter{Cprop}[section]
\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
\newcounter{Crem}[section]
{   \theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand
{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline} {#1}}
\renewcommand{\thesection}
{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}
{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}
{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° --
%%--Corrigé du document N° 13124311841398--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S\medskip}

{\LARGE CENTRES ETRANGERS 2000\medskip}

{\LARGE ELEMENTS DE SOLUTIONS\bigskip}
\end{center}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item Nous sommes manifestement dans un cadre d'\'{e}quiprobabilit\'{e}. La
formule :%
\[
p\left(  A\right)  =\frac{\text{Nombre de cas favorables \`{a} la
r\'{e}alisation de }A}{\text{Nombre de cas possibles}}%
\]
permet de r\'{e}pondre aux questions pos\'{e}es. Les tirages \'{e}tant
simultan\'{e}s, l'emploi des $C_{n}^{p}$ est \'{e}videmment justifi\'{e}.

\begin{enumerate}
\item L'\'{e}v\`{e}nement $A$ se r\'{e}alise en tirant $3$ boules rouges parmi
les $5$ de l'urne, d'o\`{u} :%
\[
p\left(  A\right)  =\frac{C_{5}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{12}%
\]
L'\'{e}v\`{e}nement $B$ est l'union des \'{e}v\`{e}nements incompatibles $A$
et $"$ les trois boules tir\'{e}es sont noires ''. D'o\`{u}%
\[
p\left(  B\right)  =\frac{C_{5}^{3}}{C_{10}^{3}}+\frac{C_{3}^{3}}{C_{10}^{3}%
}=\frac{11}{120}%
\]
Pour r\'{e}aliser l'\'{e}v\`{e}nement $C,$ on tire une rouge parmi les $5$
rouges, une jaune parmi les $3$ jaunes, et une verte parmi les deux vertes.
D'o\`{u} :%
\[
p\left(  C\right)  =\frac{C_{5}^{1}\times C_{3}^{1}\times C_{2}^{1}}%
{C_{10}^{3}}=\frac{1}{4}%
\]


\item La variable al\'{e}atoire $X$ prend les valeurs 1, 2 ou 3.%
\[
p\left(  X=1\right)  =p\left(  B\right)  =\frac{11}{120}%
\]%
\[
p\left(  X=3\right)  =p\left(  C\right)  =\frac{1}{4}%
\]%
\[
p\left(  X=2\right)  =1-p\left(  X=1\right)  -p\left(  X=3\right)  =\frac
{79}{120}%
\]
L'esp\'{e}rance de $X$ vaut alors%
\[
E\left(  X\right)  =1\times\frac{11}{120}+2\times\frac{79}{120}+3\times
\frac{1}{4}=\frac{259}{120}%
\]

\end{enumerate}

\item En adaptant le raisonnement de la question pr\'{e}c\'{e}dente, on a :

\begin{enumerate}
\item
\[
p\left(  D\right)  =\frac{C_{n}^{2}}{C_{n+5}^{2}}=\frac{\frac{n\left(
n-1\right)  }{2}}{\frac{\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)  }{2}}%
=\frac{n\left(  n-1\right)  }{\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)  }%
\]


\item De m\^{e}me, la probabilit\'{e} de tirer 2 boules jaunes est :%
\[
\frac{C_{3}^{2}}{C_{n+5}^{2}}=\frac{6}{\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)
}%
\]
et la probabilit\'{e} de tirer 2 boules vertes est :%
\[
\frac{C_{2}^{2}}{C_{n+5}^{2}}=\frac{2}{\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)
}%
\]
L'\'{e}v\`{e}nement $E$ est la r\'{e}union des deux \'{e}v\`{e}nements
pr\'{e}c\'{e}dents avec $D,$ et comme ces \'{e}v\`{e}nements sont deux \`{a}
deux incompatibles :%
\begin{align*}
p\left(  E\right)   &  =\frac{n\left(  n-1\right)  }{\left(  n+5\right)
\left(  n+4\right)  }+\frac{6}{\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)  }%
+\frac{2}{\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)  }\\
&  =\frac{n^{2}-n+8}{\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)  }%
\end{align*}
On a les in\'{e}quations suivantes :%
\[
p\left(  E\right)  \geqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{n^{2}-n+8}{\left(
n+5\right)  \left(  n+4\right)  }\geqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(
n^{2}-n+8\right)  \geqslant\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)
\]
puisque $\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)  $ est un facteur strictement
positif. On en d\'{e}duit :%
\[
p\left(  E\right)  \geqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(  n^{2}%
-n+8\right)  -\left(  n+5\right)  \left(  n+4\right)  \geqslant
0\Leftrightarrow n^{2}-11n-4\geqslant0
\]
D'apr\`{e}s le signe du trin\^{o}me, cette in\'{e}quation a pour solution :%
\[
\left]  -\infty,\frac{11}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{137}\right]  \cup\left[
\frac{11}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{137},+\infty\right[
\]
Les entiers $n$ cherch\'{e}s v\'{e}rifient donc
\[
n\geqslant12
\]
puisque
\[
\frac{11}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{137}\simeq\allowbreak-0.\,\allowbreak
352\,35\quad\frac{11}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{137}\simeq11.\,\allowbreak352
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item On a :%
\[
f\left(  0\right)  =\allowbreak-i
\]
donc l'image par l'application $f$ du point $O$ est le point $B.$

\item Il suffit de r\'{e}soudre pour $z$ distinct de $\left(  -i\right)  $ :%
\[
f\left(  z\right)  =1+i\Leftrightarrow\frac{1+iz}{z+i}=1+i\Leftrightarrow
1+iz=\left(  z+i\right)  \left(  1+i\right)
\]
On obtient une \'{e}quation en $z$ du premier degr\'{e}, d'o\`{u}%
\[
1+iz-\left(  z+i\right)  \left(  1+i\right)  =0\Leftrightarrow
2-z-i=0\Leftrightarrow z=2-i
\]
En conclusion, le point qui a pour image par l'application $f$ le point $C$
d'affixe $1+i$ est le point d'affixe $2-i.$

\item Pour $z$ diff\'{e}rent de $\left(  -i\right)  ,$ on a :%
\[
\frac{1+iz}{z+i}=z\Leftrightarrow1+iz=z\left(  z+i\right)  \Leftrightarrow
1+iz=z^{2}+iz\Leftrightarrow z^{2}=1
\]
Cette \'{e}quation admet deux solutions qui sont $1$ et $\left(  -1\right)  .$

\item Par un simple d\'{e}veloppement :%
\[
\frac{i\left(  z-i\right)  }{z+i}=\frac{1+iz}{z+i}=z^{\prime}%
\]
On a alors de mani\`{e}re imm\'{e}diate :
\[
OM^{\prime}=\left|  z^{\prime}\right|  =\left|  \frac{i\left(  z-i\right)
}{z+i}\right|  =\frac{\left|  i\right|  \,\left|  z-i\right|  }{\left|
z+i\right|  }=\frac{AM}{BM}%
\]
puisque $\left|  i\right|  =1$. De m\^{e}me,
\[
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}}\right)  =\arg\left(
z^{\prime}\right)  =\arg\left(  \frac{i\left(  z-i\right)  }{z+i}\right)
=\arg\left(  i\right)  +\arg\left(  \frac{z-i}{z+i}\right)
\]
d'apr\`{e}s les propri\'{e}t\'{e}s des arguments. Il suffit ensuite de
remarquer que :%
\[
\arg\left(  i\right)  =\frac{\pi}{2}\quad\left(  \overrightarrow
{MB},\overrightarrow{MA}\right)  =\arg\left(  \frac{i-z}{-i-z}\right)
=\arg\left(  \frac{z-i}{z+i}\right)
\]
Ces \'{e}galit\'{e}s \'{e}tablissent bien que :
\[
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}}\right)  =\left(
\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right)  +\frac{\pi}{2}+2k\pi\text{
avec }k\in\mathbb{Z}%
\]


\item L'axe des abscisses est la m\'{e}diatrice de $\left[  AB\right]  ,$ donc
tout point $M$ de l'axe des abscisses v\'{e}rifie :%
\[
MA=MB
\]
En cons\'{e}quence, on a
\[
OM^{\prime}=\frac{AM}{BM}=1
\]
ce qui prouve bien que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images
par l'application $f$ situ\'{e}s sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1.

\item Si $M$ un point quelconque du cercle de diam\`{e}tre $\left[  AB\right]
$ diff\'{e}rent de $A$ et $B,$ alors l'angle $AMB$ est droit. On a donc les
\'{e}galit\'{e}s suivantes modulo $2\pi$ :%
\[
\left(  \overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right)  =\frac{\pi}{2}\text{
ou }\left(  \overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right)  =-\frac{\pi}{2}%
\]
L'\'{e}galit\'{e} de la question $4)$ entra\^{\i}ne alors que
\[
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}}\right)  =\pi
+2k\pi\text{ ou }\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}%
}\right)  =2k\pi
\]
On a donc bien prouv\'{e} que le point $M^{\prime}$ est situ\'{e} sur l'axe
des abscisses.
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
[Probl\`{e}me]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie I}{\subsection*{Partie I: Préliminaires}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I: Préliminaires}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Par somme, la fonction $g$ est \'{e}videmment d\'{e}rivable sur
$\mathbb{R},$ et
\[
g^{\prime}\left(  t\right)  =e^{t}-1
\]
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et
qu'elle prend en $0$ la valeur $1,$ on peut en conclure que si $t<0,$ alors
$g^{\prime}\left(  t\right)  <0,$ et donc que $g$ est d\'{e}croissante, et que
si $t>1,$ alors $g^{\prime}\left(  t\right)  >0,$ et que $g$ est
croissante.\newline Le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]
-\infty,+\infty\right[  $ est donc atteint en 0 et vaut $g\left(  0\right)
=\allowbreak0$.

\item
\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ admet en $0$ un minimum valant $0,$ donc pour tout
r\'{e}el $t,$ on a :%
\[
g\left(  t\right)  \geqslant0\Leftrightarrow e^{t}\geqslant t+1
\]
Remarquons que :%
\[
t+1>t\Rightarrow e^{t}>t
\]
Il suffit de multiplier l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente par $e^{-t}$
qui est un r\'{e}el strictement positif :%
\[
e^{t}>t\Rightarrow e^{-t}e^{t}>e^{-t}t\Rightarrow1>e^{-t}t\Rightarrow
-1<-e^{-t}t
\]
apr\`{e}s multiplication par $\left(  -1\right)  .$

\item La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\left]  0,+\infty
\right[  ,$ donc pour tout $t>-1,$ on a comme $t+1>0$ :%
\[
e^{t}\geqslant t+1\Rightarrow\ln\left(  e^{t}\right)  \geqslant\ln\left(
t+1\right)  \Rightarrow t\geqslant\ln\left(  t+1\right)
\]

\end{enumerate}

\item Dans l'\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente, on pose
\[
t=-xe^{-x}%
\]
ce qui est l\'{e}gitime car d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, on a
pour tout r\'{e}el $t$ :%
\[
-1<-te^{-t}%
\]
On obtient donc :%
\[
\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  \leqslant-xe^{-x}%
\]

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie II}{\subsection*{Partie II: Étude d'une fonction}%
%}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II: Étude d'une fonction}%
%EndExpansion


Remarquons d'abord que la fonction $f$ est bien d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$
d'apr\`{e}s l'in\'{e}galit\'{e} :%
\[
e^{x}>x\Rightarrow e^{x}-x>0
\]


\begin{enumerate}
\item Gr\^{a}ce aux r\'{e}sultats de la partie pr\'{e}c\'{e}dente, on a :
\[
1>e^{-t}t\Rightarrow1-te^{-t}>0
\]
On peut donc factoriser de la mani\`{e}re suivante :%
\[
f\left(  x\right)  =\allowbreak x^{2}-2\ln\left(  e^{x}\left(  1-xe^{-x}%
\right)  \right)  =\allowbreak x^{2}-2\ln\left(  e^{x}\right)  -2\ln\left(
1-xe^{-x}\right)
\]
ce qui \'{e}tablit bien que pour tout $x$ :
\[
f\left(  x\right)  =x^{2}-2x-2\ln\left(  1-xe^{-x}\right)
\]
D'apr\`{e}s le formulaire, on a :%
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}=0
\]
Cette limite entra\^{\i}ne que :%
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  =0
\]
et on a enfin :%
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow+\infty}%
x^{2}\left(  1-\frac{2}{x}\right)  -2\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  =+\infty
\]


\item En remarquant que $f$ est somme et compos\'{e}e de fonctions
d\'{e}rivables, on en d\'{e}duit que $f$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$
et
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =2x-2\frac{e^{x}-1}{e^{x}-x}=\frac{2x\left(
e^{x}-x\right)  -2\left(  e^{x}-1\right)  }{e^{x}-x}=\frac{2xe^{x}%
-2x^{2}-2e^{x}+2}{e^{x}-x}%
\]
Or, on v\'{e}rifie ais\'{e}ment par d\'{e}veloppement que :%
\[
2\left(  x-1\right)  \left(  e^{x}-x-1\right)  =2xe^{x}-2x^{2}-2e^{x}+2
\]
ce qui \'{e}tablit bien que
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{2\left(  x-1\right)  \left(  e^{x}%
-x-1\right)  }{e^{x}-x}=\frac{2\left(  x-1\right)  g\left(  x\right)  }%
{e^{x}-x}%
\]
En utilisant la premi\`{e}re partie, on a pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :%
\[
e^{x}>x\Rightarrow e^{x}-x>0
\]
On peut donc dire que $f^{\prime}\left(  x\right)  $ est du signe de $\left(
x-1\right)  g\left(  x\right)  .$ L'\'{e}tude de la fonction $g$ a
d\'{e}montr\'{e} que $g\left(  x\right)  $ est positive, ne s'annulant que
pour $x=0.$ On peut donc dresser le tableau de variation de la fonction $f$ :%
\[%
\begin{tabular}
[c]{l|ccccccc}%
$x$ & $-\infty$ &  & $0$ &  & $1$ &  & $+\infty$\\\hline
$f^{\prime}\left(  x\right)  $ & \multicolumn{1}{|l}{} &
\multicolumn{1}{l}{$-$} & \multicolumn{1}{l}{$0$} & \multicolumn{1}{l}{$-$} &
$0$ & \multicolumn{1}{l}{$+$} & \multicolumn{1}{l}{}\\\hline
& $+\infty$ &  &  &  &  &  & \\
$f\left(  x\right)  $ &  & $\searrow$ &  &  &  &  & \\
&  &  & $0$ &  &  &  & $+\infty$\\
&  &  &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
&  &  &  &  & $1-2\ln\left(  e-1\right)  $ &  &
\end{tabular}
\]


\item On a :%
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}\;f\left(  x\right)  -\left(  x^{2}-2x\right)
=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(  -2\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  \right)  =0
\]
d'apr\`{e}s la premi\`{e}re question de la deuxi\`{e}me partie. Cette limite
prouve que $\left(  C\right)  $ et $\left(  P\right)  $ sont asymptotes en
$+\infty$.\newline Etudions maintenant le signe de la diff\'{e}rence%
\[
f\left(  x\right)  -\left(  x^{2}-2x\right)  =-2\ln\left(  1-xe^{-x}\right)
\]
Le logarithme n\'{e}p\'{e}rien s'annulant et changeant de signe en $1,$
r\'{e}solvons :%
\[
1-xe^{-x}>1\Leftrightarrow-xe^{-x}>0\Leftrightarrow x<0
\]
Donc si $x<0,$ alors
\[
\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  >0\Rightarrow f\left(  x\right)  -\left(
x^{2}-2x\right)  <0
\]
et donc la courbe $\left(  C\right)  $ est au-dessous de $\left(  P\right)  $.
On prouve de m\^{e}me que si $x>0$ alors la courbe $\left(  C\right)  $ est
au-dessus de $\left(  P\right)  $. Enfin, $\left(  C\right)  $ et $\left(
P\right)  $ se coupent au point d'abscisse $0.$

\item Tangente $D$ \`{a} la courbe $\left(  C\right)  $ au point d'abscisse 0
:%
\[
y=f^{\prime}\left(  0\right)  \left(  x-0\right)  +f\left(  0\right)  =0
\]
Tangente $D^{\prime}$ \`{a} la courbe $\left(  P\right)  $ au point d'abscisse
0 :%
\[
y=-x
\]


\item Les repr\'{e}sentations graphiques sont les suivantes :%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{3.7317in}{3.7317in}{0pt}{}{}{Include/fig.ps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.7317in;  height 3.7317in;  depth 0pt;  original-width 3.6841in;
%original-height 3.6841in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig.ps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=3.7317in,
width=3.7317in
]%
{Include/i3fayy1f.eps}%
\end{center}
%EndExpansion

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie III}{\subsection
%*{Partie III: Étude d'une intégrale}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III: Étude d'une intégrale}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour $n$ \'{e}l\'{e}ment de $\mathbb{N},$ on a :%
\begin{align*}
u_{n+1}-u_{n}  &  =\int_{0}^{n+1}xe^{-x}dx-\int_{0}^{n}xe^{-x}dx\\
&  =\int_{n}^{n+1}xe^{-x}dx
\end{align*}
d'apr\`{e}s la relation de Chasles. Or comme $n$ est positif, tout $x$ de
$\left[  n,n+1\right]  $ est aussi positif, et donc sur cet intervalle, on a :%
\[
xe^{-x}\geqslant0\Longrightarrow\int_{n}^{n+1}xe^{-x}dx\geqslant0
\]
On a donc \'{e}tabli que la suite $u$ de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}$ est croissante.

\item Posons :%
\[
u\left(  x\right)  =x\quad v^{\prime}\left(  x\right)  =e^{-x}%
\]
On a alors :%
\[
u^{\prime}\left(  x\right)  =1\quad v\left(  x\right)  =-e^{-x}%
\]
et la formule d'int\'{e}gration par parties donne :%
\begin{align*}
u_{n}  &  =\left[  -xe^{-x}\right]  _{0}^{n}-\int_{0}^{n}\left(
-e^{-x}\right)  dx\\
&  =1-ne^{-n}-\left[  e^{-x}\right]  _{0}^{n}\\
&  =1-ne^{-n}-e^{-n}%
\end{align*}


\item Comme d'apr\`{e}s le formulaire :%
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}e^{-n}=0\quad\lim_{n\rightarrow+\infty}ne^{-n}=0
\]
on a donc :%
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=1
\]


\item D'apr\`{e}s la question 3) des pr\'{e}liminaires, pour tout r\'{e}el $x
$ :%
\[
\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  \leqslant-xe^{-x}%
\]
On int\`{e}gre cette in\'{e}galit\'{e} entre $0$ et $n$ positif, d'o\`{u}%
\[
\int_{0}^{n}\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  dx\leqslant\int_{0}^{n}%
-xe^{-x}dx\Longrightarrow-2\int_{0}^{n}\ln\left(  1-xe^{-x}\right)
dx\geqslant2\int_{0}^{n}xe^{-x}dx
\]
ce qui s'\'{e}crit aussi :%
\[
I_{n}\geqslant2u_{n}%
\]


\item On a
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}2u_{n}=2
\]
En admettant que la suite $\left(  I_{n}\right)  $ a pour limite $l$, le
passage \`{a} la limite donne bien :%
\[
l\geqslant2
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}