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%\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\theenumiv.}}
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\newtheorem  {acknowledgement}[Cack]{A savoir}
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\newtheorem{algorithm}[Calg]{M�thode}
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\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
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\newtheorem{definition}[Cdef]{D�finition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
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{\Roman{Cprob}.}
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}
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\newtheorem{summary}[Csum]{En r�sum�}
}
\newenvironment{proof}[1]
[D�monstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
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}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� --
%%--Corrig� du document N� 13128898814399--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S\medskip}

{\LARGE NATIONAL 2000\medskip}

{\LARGE ELEMENTS DE SOLUTION}

\bigskip

\textbf{Auteur : Jacques Marot ( Lyc\'{e}e Camille Gu\'{e}rin - Poitiers )}

\bigskip
\end{center}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item Dans une classe de 30 \'{e}l\`{e}ves o\`{u} le club photo est
compos\'{e} de 10 membres, si on interroge un \'{e}l\`{e}ve de la classe pris
au hasard, l'\'{e}v\'{e}nement $P $~ :\og l'\'{e}l\`{e}ve fait partie du club
photo\fg a pour probabilit\'{e}
\[
p(P)=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}%
\]
Si le club th\^{e}atre est compos\'{e} de 6 membres, l'\'{e}v\'{e}nement $T$:
\og l'\'{e}l\`{e}ve fait partie du club th\^{e}atre\fg a pour probabilit\'{e}
\[
p(T)=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}%
\]
\'{E}tant donn\'{e} qu'il y a deux \'{e}l\`{e}ves qui sont membres des deux
clubs,
\[
p(P\cap T)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}%
\]
Les \'{e}v\'{e}nements $P$ et $T$ sont donc ind\'{e}pendants car :
\[
p(P)\times p(T)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15}=p(P\cap T)
\]
\textit{Remarque} : On peut aussi montrer l'ind\'{e}pendance des
\'{e}v\'{e}nements $P$ et $T$ en calculant
\[
p(P/T)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}%
\]
( Etant donn\'{e} qu'il y a 2 \'{e}l\`{e}ves membres du club th\'{e}\^{a}tre
parmi les 10 membres du club th\'{e}\^{a}tre ). L'ind\'{e}pendance des
\'{e}v\'{e}nements $P$ et $T$ d\'{e}coule alors de l'\'{e}galit\'{e}
$p(P)=p(P/T)$.\newline On peut aussi v\'{e}rifier l'\'{e}galit\'{e}
$p(T)=p(T/P)$ car :
\[
p(T/P)=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}%
\]
( Etant donn\'{e} qu'il y a 2 \'{e}l\`{e}ves membres du club th\'{e}\^{a}tre
parmi les 10 membres du club photo ).

\item
\begin{enumerate}
\item En pr\'{e}sence des 10 membres du club photo, l'\'{e}v\'{e}nement
$T_{1}$:~\og le photographe tir\'{e} au sort appartient au club
th\^{e}atre\fg a pour probabilit\'{e}~:
\[
p(T_{1})=p(T/P)=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}%
\]


\item Si $T_{2}$ d\'{e}signe l'\'{e}v\'{e}nement:~\og l'\'{e}l\`{e}ve
photographi\'{e} appartient au club th\^{e}atre\fg, $p(T_{2}/T_{1})$ et
$p(T_{2}/\overline{T_{1}})$ se calculent en remarquant que lors du
deuxi\`{e}me tirage pour d\'{e}signer le photographi\'{e}, il reste 9
\'{e}l\`{e}ves. Dans le premier cas il reste un seul \'{e}l\`{e}ve du club
th\^{e}atre et dans le deuxi\`{e}me cas il reste les deux \'{e}l\`{e}ves du
club th\^{e}atre, on a donc~:
\[
p(T_{2}/T_{1})=\dfrac{1}{9}\text{\qquad et \qquad}p(T_{2}/\overline{T_{1}%
})=\dfrac{2}{9}%
\]


\item En utilisant
\[
T_{2}=(T_{1}\cap T_{2})\cup(\overline{T_{1}}\cap T_{2})
\]
et le fait qu'il s'agit d'une r\'{e}union entre deux \'{e}v\'{e}nements
incompatibles , on peut calculer $p(T_{2})$ par la formule des
probabilit\'{e}s totales :%
\[
p(T_{2})=p(T_{1}\cap T_{2})+p(\overline{T_{1}}\cap T_{2})=p(T_{1})\times
p(T_{2}/T_{1})+p(\overline{T_{1}})\times p(T_{2}/\overline{T_{1}})
\]
Ce calcul peut \^{e}tre illustr\'{e} par l'arbre ci-dessous, qui nous fournit
le calcul suivant o\`{u} l'on additionne les probabilit\'{e}s trouv\'{e}es sur
la premi\`{e}re et la troisi\`{e}me branche~:
\[
p(T_{2})=\dfrac{1}{45}+\dfrac{8}{45}=\dfrac{1}{5}=0,2
\]%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{368.8182pt}{170.7592pt}{0pt}{}{}{Figure}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
%width 368.8182pt;  height 170.7592pt;  depth 0pt;  original-width 450.2378pt;
%original-height 207.419pt;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";
%tempfilename 'Include/htsmt705.bmp';tempfile-properties "XPR";}} }%
%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\includegraphics[
natheight=207.419006pt,
natwidth=450.237793pt,
height=170.7592pt,
width=368.8182pt
]%
{Include/htsmt705.bmp}%
}
%EndExpansion


%L'image d'origine ne s'affiche pas convenable avec SWP.
%Pour afficher l'originale avec une distribution Latex normale
%d�commenter la ligne suivante:
%\includegraphics{Include/arbrebac.ps}

\end{enumerate}

\item \bigskip On en d\'{e}duit que%
\[
p(\overline{T_{2}})=\dfrac{4}{5}%
\]
Si toutes les semaines on r\'{e}p\`{e}te la m\^{e}me exp\'{e}rience
al\'{e}atoire de fa\c{c}on \textbf{ind\'{e}pendante} la probabilit\'{e} qu'au
bout de 4 semaines, aucun membre du club th\^{e}atre n'ait \'{e}t\'{e}
photographi\'{e} est~:
\[
\left[  p(\overline{T_{2}})\right]  ^{4}=\dfrac{256}{625}%
\]
\bigskip
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}


\begin{enumerate}
\item \'{E}tant donn\'{e} le point $M$ d'affixe
\[
z=1+e^{2i\theta}%
\]
et $A$ d'affixe $1$, on a
\[
AM=\left\vert z_{M}-z_{A}\right\vert =\left\vert e^{2i\theta}\right\vert =1
\]
\newline$M$ appartient donc au cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et rayon 1.

\item Si $B$ a pour affixe $z_{B}=2$, l'angle $\left(  \overrightarrow
{AB},\overrightarrow{AM}\right)  $ est un argument de
\[
\dfrac{z-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=e^{2i\theta}%
\]
L'argument $2\theta$ est donc une mesure de $\left(  \overrightarrow
{AB},\overrightarrow{AM}\right)  $ .\newline Quand $\theta$ d\'{e}crit
l'intervalle $\left]  0,\pi\right[  $, $2\theta$ d\'{e}crit $\left]
0,2\pi\right[  $ et l'ensemble $E$ des points $M$ tels que
\[
\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right)  =2\theta
\]
est donc le cercle $\mathcal{C}$ priv\'{e} du d'affixe
\[
1+e^{0}=2
\]
c'est \`{a} dire $B$.
\[
E=\mathcal{C}\,\backslash\,\{B\}
\]


\item Soit $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$, image de $M$ par la rotation de
centre $O$ et d'angle $-2\theta$. On a~:
\[
z^{\prime}=e^{-2i\theta}z=e^{-2i\theta}\left(  1+e^{2i\theta}\right)
=e^{-2i\theta}+1.
\]
\'{E}tant donn\'{e} que
\[
\overline{z}=\overline{1+e^{2i\theta}}=\overline{1}+\overline{e^{2i\theta}%
}=1+e^{-2i\theta}%
\]
on en d\'{e}duit que%
\[
z^{\prime}=\overline{z}%
\]
et que $M^{\prime}$ appartient aussi \`{a} $\mathcal{C}$ car%
\[
\left\vert z^{\prime}-1\right\vert =\left\vert e^{-2i\theta}\right\vert =1
\]


\item
\begin{enumerate}
\item L'image $\mathcal{C}^{\prime}$ du cercle $\mathcal{C}$ par la rotation
$r$ de centre $O$ et angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ est le cercle de centre
$A^{\prime}$ et rayon 1. $A^{\prime}$ a pour affixe
\[
z_{A}e^{-i\frac{2\pi}{3}}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}%
\]%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{355.9783pt}{287.8186pt}{0pt}{}{}{Figure}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
%width 355.9783pt;  height 287.8186pt;  depth 0pt;  original-width 556.4973pt;
%original-height 449.5178pt;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";
%tempfilename 'Include/htsmt706.bmp';tempfile-properties "XPR";}} }%
%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\includegraphics[
natheight=449.517792pt,
natwidth=556.497314pt,
height=287.8186pt,
width=355.9783pt
]%
{Include/htsmt706.bmp}%
}
%EndExpansion


%L'image d'origine ne s'affiche pas convenable avec SWP.
%Pour afficher l'originale avec une distribution Latex normale
%d�commenter la ligne suivante:
%\includegraphics{Include/fig2.ps}


\item Pour $\theta=\dfrac{\pi}{3}$, on a
\[
\dfrac{z_{M}}{z_{A}}=1+e^{i\frac{2\pi}{3}}=1-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}%
{2}=e^{i\frac{\pi}{3}}%
\]
\newline$M$ est donc le transform\'{e} de $A$ par la rotation de centre $O$ et
angle $\dfrac{\pi}{3}$, ceci suffit \`{a} prouver que le triangle $AMO$ est \'{e}quilat\'{e}ral.

\item Le point $O$ appartient aux deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}%
^{\prime}$ car $OA^{\prime}=OA=1$, et ces deux cercles se recoupent en
$M^{\prime}$ car l'affixe de $M^{\prime}$ est
\[
\left(  1+e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)  e^{-i\frac{2\pi}{3}}=e^{-i\frac{2\pi}%
{3}}+1
\]
On a donc
\[
A^{\prime}M^{\prime}=\left\vert e^{-i\frac{2\pi}{3}}+1-e^{-i\frac{2\pi}{3}%
}\right\vert =1
\]
et
\[
OM^{\prime}=\left\vert \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right\vert
=\left\vert e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\vert =1
\]


\item Le point $P$ sym\'{e}trique de $M$ par rapport \`{a} $A$ a une affixe
$z_{P}$ qui v\'{e}rifie
\[
\dfrac{z_{P}+z_{M}}{2}=z_{A}%
\]
\newline D'o\`{u}
\[
z_{P}=2z_{A}-z_{M}=2-e^{i\frac{\pi}{3}}=\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}%
\]
\newline Le milieu de $\left[  A^{\prime}P\right]  $ a pour affixe
\[
\dfrac{e^{-i\frac{2\pi}{3}}+\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{1}%
{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}%
\]
\newline Ce complexe est l'affixe de $M^{\prime}$ \'{e}gale \`{a}
\[
e^{-i\frac{2\pi}{3}}+1=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}%
\]
\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
[probl\`{e}me]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item \'{E}tant donn\'{e}e $f_{1}$ d\'{e}finie sur $\left]  0,+\infty\right[
$ par
\[
f_{1}(x)=xe^{-x^{2}}%
\]
$f_{1}$ est produit des fonctions $u$ et $v$ telles que :
\[
u(x)=x\quad v(x)=e^{-x^{2}}%
\]
On a $u^{\prime}(x)=1$ et la fonction d\'{e}riv\'{e}e de $v$ se calcule en
remarquant que $v=exp\circ w$ o\`{u} $w(x)=x^{2}.$ On en d\'{e}duit que :%
\[
v^{\prime}\left(  x\right)  =w^{\prime}(x)exp(w(x))=-2xe^{-x^{2}}%
\]
On a donc :
\[
f_{1}^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)=e^{-x^{2}}-2xe^{x^{2}}%
\]
En factorisant l'expression de $f_{1}^{\prime}$ par $e^{-x^{2}}$ positif pour
tout $x$, on en d\'{e}duit que $f_{1}^{\prime}(x)$ est de m\^{e}me signe que
\[
1-2x^{2}=-2(x-\dfrac{\sqrt{2}}{2})(x+\dfrac{\sqrt{2}}{2})
\]
Pour $x\in$ $\mathbb{R}$ ce polyn\^{o}me du second degr\'{e} est n\'{e}gatif
\`{a} l'ext\'{e}rieur de l'intervalle de ses racines~$\left[  -\frac{\sqrt{2}%
}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right]  .$ La fonction d\'{e}riv\'{e}e $f_{1}^{\prime
}$ est donc positive sur l'intervalle $\left[  0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]  $
et n\'{e}gative sur l'intervalle $\left[  \frac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right[
$. On en d\'{e}duit que $f_{1}$ est croissante sur $\left[  0,\frac{\sqrt{2}%
}{2}\right]  $ et d\'{e}croissante sur $\left[  \frac{\sqrt{2}}{2}%
,+\infty\right[  .$

\item En posant $u=x^{2}$ on obtient :
\[
f_{1}(x)=\sqrt{u}e^{-u}=\dfrac{1}{\sqrt{u}}\times\dfrac{u}{e^{u}}%
\]
On a
\[
\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{u}}=0\quad\lim_{u\rightarrow+\infty
}\frac{u}{e^{u}}=0
\]
d'apr\`{e}s les r\'{e}sultats du formulaire. On en d\'{e}duit :
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{1}\left(  x\right)  =\lim_{u\rightarrow+\infty
}\frac{1}{\sqrt{u}}\times\frac{u}{e^{u}}=0
\]
L'axe des abscisses est donc asymptote \`{a} $\mathcal{C}_{1}$ en $+\infty$.

\item On peut synth\'{e}tiser tous ces r\'{e}sultats dans le tableau de
variation suivant :%
\[%
\begin{tabular}
[c]{c|ccccc}%
$x$ & $0$ &  & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ &  & $+\infty$\\\hline
$f^{\prime}\left(  x\right)  $ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\\hline
&  &  & $\frac{1}{\sqrt{2e}}$ &  & \\
$f\left(  x\right)  $ &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
&  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Decroissent}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
& \\
& $0$ &  &  &  & $0$%
\end{tabular}
\
\]


\item On a $f_{1}^{\prime}(0)=1$ et $f(0)=0$, la droite $\Delta$
d'\'{e}quation $y=x$ est donc tangente \`{a} $\mathcal{C}_{1}$en $O.$\newline
De plus
\[
f_{1}(x)-x=x(1-e^{-x^{2}})
\]
est positif pour tout , car l'exponentielle du nombre n\'{e}gatif $\left(
-x^{2}\right)  $ est inf\'{e}rieure ou \'{e}gale \`{a} 1. On en d\'{e}duit que
$\Delta$, d'\'{e}quation $y=x$ est la tangente \`{a} $\mathcal{C}_{1}$ en $O$
et est situ\'{e}e au dessus de $\mathcal{C}_{1}.$

\item Les repr\'{e}sentations graphiques demand\'{e}es sont les suivantes :%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{6.3123in}{2.2079in}{0pt}{}{}{fig1bacs.ps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 6.3123in;  height 2.2079in;  depth 0pt;  original-width 6.2509in;
%original-height 2.1672in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig1bacS.ps';file-properties "XNPEU";}} }%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.2079in,
width=6.3123in
]%
{Include/fig1bacS.ps}%
\end{center}
%EndExpansion

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Comme en A.1 pour d\'{e}river la fonction $f_{3}$ d\'{e}finie sur
$\left[  0,+\infty\right[  $ par
\[
f_{3}(x)=x^{3}e^{-x^{2}}%
\]
on peut poser
\[
f_{3}(x)=u(x)e^{w(x)}%
\]
avec
\[
u(x)=x^{3}\quad w(x)=-x^{2}%
\]
On a donc :
\[
f_{3}^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)e^{w(x)}+u(x)w^{\prime}(x)e^{w(x)}%
=3x^{2}e^{-x^{2}}-2x^{4}e^{-x^{2}}=x^{2}e^{-x^{2}}(3-2x^{2})
\]
Pour tout $x$, on a $x^{2}$ et $e^{-x^{2}}$ positifs, on en d\'{e}duit que
$f_{3}^{\prime}(x)$ a m\^{e}me signe que~:\newline%
\[
3-2x^{2}=-2(x-\dfrac{\sqrt{6}}{2})(x+\dfrac{\sqrt{6}}{2})
\]
Ce polyn\^{o}me du second degr\'{e} est n\'{e}gatif \`{a} l'ext\'{e}rieur de
l'intervalle de ses racines $\left[  -\frac{\sqrt{6}}{2};\frac{\sqrt{6}}%
{2}\right]  .$ On en d\'{e}duit que $f_{3}$ est croissante sur $\left[
0,\frac{\sqrt{6}}{2}\right]  $ et d\'{e}croissante sur $\left[  \frac{\sqrt
{6}}{2},+\infty\right[  .$

\item Les positions relatives de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{3}$
d\'{e}pendent du signe de
\[
f_{1}(x)-f_{3}(x)=xe^{-x^{2}}(1-x)(1+x)
\]
Pour $x$ positif $\left(  f_{1}(x)-f_{3}(x)\right)  $ est donc de m\^{e}me
signe que $\left(  1-x\right)  $, on en d\'{e}duit que sur $\left[
0,1\right]  ,$ $\mathcal{C}_{1}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{2}$ ( car
$f_{1}\left(  x\right)  -f_{3}\left(  x\right)  \geqslant0$ ) et que sur
$\left[  1,+\infty\right[  ,$ $\mathcal{C}_{1}$ est au-dessous de
$\mathcal{C}_{2}$ ( car $f_{1}\left(  x\right)  -f_{3}\left(  x\right)
\leqslant0$ ).

\item Voir la figure de la partie pr\'{e}c\'{e}dente.

\item
\begin{enumerate}
\item \'{E}tant donn\'{e} que $f_{1}(x)$ est positif pour tout $x$, l'aire
$A_{1}$ du domaine limit\'{e} par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, les deux axes
de coordonn\'{e}es et la droite verticale $D$ d'abscisse $1$ est
l'int\'{e}grale :
\[
\int_{0}^{1}f_{1}(x)\text{ d}x
\]


$f_{1}(x)$ peut s'\'{e}crire sous la forme
\[
ku^{\prime}(x)e^{u(x)}%
\]
o\`{u} l'on a pos\'{e}
\[
u(x)=-x^{2}\quad k=-\dfrac{1}{2}%
\]
.On en d\'{e}duit que $f_{1}$ admet pour primitive $F_{1}$ d\'{e}finie pour
par
\[
F_{1}(x)=\dfrac{-1}{2}e^{-x^{2}}%
\]
On a donc :
\[
A_{1}=\int_{0}^{1}f_{1}(x)\text{ d}x=\left[  \dfrac{-1}{2}e^{-x^{2}}\right]
_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2e}%
\]


\item L'aire $A_{3}$ du domaine limit\'{e} par la courbe $\mathcal{C}_{3}$,
les deux axes de coordonn\'{e}es et la droite verticale $D$ d'abscisse $1$ est
l'int\'{e}grale :
\[
\int_{0}^{1}f_{3}(x)\text{ d}x
\]
car $f_{3}(x)$ est positif pour tout $x$. En remarquant que
\[
f_{3}(x)=x^{2}f_{1}(x)
\]
on peut int\'{e}grer par parties pour obtenir~:
\[
A_{3}=\int_{0}^{1}f_{3}(x)\text{ d}x=\left[  x^{2}F_{1}(x)\right]  _{0}%
^{1}-\int_{0}^{1}2xF_{1}(x)\text{ d}x=F_{1}(1)+\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\text{
d}x=-\dfrac{1}{2e}+A_{1}%
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie C}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Comme en A.1 pour d\'{e}river la fonction $f_{n}$ d\'{e}finie sur
$\left[  0,+\infty\right[  $ par
\[
f_{n}(x)=x^{n}e^{-x^{2}}%
\]
on peut poser
\[
f_{n}(x)=u(x)e^{w(x)}%
\]
avec%
\[
u(x)=x^{n}\quad w(x)=-x^{2}%
\]
On a donc :
\[
f_{3}^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)e^{w(x)}+u(x)w^{\prime}(x)e^{w(x)}%
=nx^{n-1}e^{-x^{2}}-2x^{n+1}e^{-x^{2}}=x^{n-1}e^{-x^{2}}(n-2x^{2})
\]
Pour tout $x\in\left[  0,+\infty\right[  $, on a $x^{n}$ et $e^{-x^{2}}$
positifs, on en d\'{e}duit que $f_{n}^{\prime}(x)$ a m\^{e}me signe
que~:\newline%
\[
n-2x^{2}=-2\left(  x-\sqrt{\dfrac{n}{2}}\right)  \left(  x+\sqrt{\dfrac{n}{2}%
}\right)
\]
Ce polyn\^{o}me du second degr\'{e} est n\'{e}gatif \`{a} l'ext\'{e}rieur de
l'intervalle de ses racines $\left[  -\sqrt{\frac{n}{2}};\sqrt{\frac{n}{2}%
}\right]  .$ On en d\'{e}duit~que $f_{n}$ est croissante sur $\left[
0;\sqrt{\frac{n}{2}}\right]  $ et d\'{e}croissante sur $\left[  \sqrt{\frac
{n}{2}}+\infty\right[  .$ La fonction $f_{n}$ admet donc un maximum pour
$x=\frac{n}{2}.$

\item Le point de $\mathcal{C}_{1}$ d'ordonn\'{e}e maximum est donc le point
$S_{1}$ de coordonn\'{e}es
\[
\left(  \sqrt{\dfrac{1}{2}}\,;\,\sqrt{\dfrac{1}{2e}}\right)
\]
\newline Le point de $\mathcal{C}_{2}$ d'ordonn\'{e}e maximum est le point
$S_{2}$ de coordonn\'{e}es
\[
\left(  1\,;\,\dfrac{1}{e}\right)
\]
\newline Le point de $\mathcal{C}_{3}$ d'ordonn\'{e}e maximum est le point
$S_{3}$ de coordonn\'{e}es
\[
\left(  \sqrt{\dfrac{3}{2}}\,;\,\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{2e^{3}}}\right)
\]
\newline On remarque que pour $x=1$ , $f_{n}(x)=e^{-1}$, toutes les courbes
$\mathcal{C}_{n}$ passent donc par le point $S_{2}$.

\item
\begin{enumerate}
\item La fonction d\'{e}riv\'{e}e de $g$ d\'{e}finie sur $\left]
0;+\infty\right[  $ par
\[
g(x)=e^{u(x)}%
\]
avec
\[
u(x)=\dfrac{x}{2}\left[  -1+\ln\dfrac{x}{2}\right]
\]
est $g^{\prime}$ d\'{e}finie par%
\[
g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)e^{u(x)}%
\]
Elle est donc de m\^{e}me signe que~:
\[
u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{x}{2}.\ln\dfrac{x}{2}<0
\]
si et seulement si $\dfrac{x}{2}<1$, ce qui \'{e}quivaut \`{a} $x<2$

$g$ est donc d\'{e}croissante sur $\left]  0,2\right]  $ et croissante sur
$\left[  2,+\infty\right[  .$

\item L'ordonn\'{e}e $\alpha_{n}$de $S_{n}$ est
\[
f_{n}\left(  \sqrt{\dfrac{n}{2}}\right)  =\left(  \dfrac{n}{2}\right)
^{\frac{n}{2}}e^{-\frac{n}{2}}%
\]
En \'{e}crivant
\[
\left(  \dfrac{n}{2}\right)  ^{\frac{n}{2}}=e^{\frac{n}{2}\ln\frac{n}{2}}%
\]
on obtient :
\[
\alpha_{n}=e^{\frac{n}{2}\ln\frac{n}{2}-\frac{n}{2}}=e^{\frac{n}{2}%
(-1+\ln\frac{n}{2})}%
\]
On a donc $\alpha_{n}=g(n)$ qui est sup\'{e}rieur pour tout $n$ au minimum
atteint par $g(x)$ pour $x=2$, ce minimum est donc $\alpha_{2}$ qui est
pr\'{e}cis\'{e}ment l'ordonn\'{e}e de $S_{2}$.

On peut obtenir ce r\'{e}sultat sans \'{e}tudier la fonction $g$, car il
suffit de remarquer que l'ordonn\'{e}e de $S_{n}$ est le maximum atteint par
$f_{n}$ sur , qui est n\'{e}cesairement sup\'{e}rieur \`{a} l'ordonn\'{e}e de
$S_{2}$ puisque $\mathcal{C}_{n}$ passe par $S_{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}