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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13124311841398--
%%--Centres étrangers 2000--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S\medskip}

{\LARGE CENTRES ETRANGERS 2000\medskip}

{\LARGE ENONCE}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes et 2 vertes.

Dans la question 1) on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne.
Les réponses seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\begin{enumerate}
\item Soit les événements suivants :\newline$A$ : «\ \ Les trois boules sont
rouges »\ \newline$B$ : «\ \ Les trois boules sont de la même couleur
»\ \newline$C$ : «\ Les trois boules sont chacune d'une couleur différente »

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p\left(  A\right)  ,$ $p\left(  B\right)  $
et $p\left(  C\right)  $.

\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le
nombre de couleurs obtenues. Déterminer la loi de probabilité de $X$. Calculer
$E\left(  X\right)  $.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par $n$ boules
rouges où $n$ est un entier supérieur ou égal à 2. L'urne contient donc $n+5$
boules, c'est à dire $n$ rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et
simultanément deux boules de cette urne. Soit les événements suivants
:\newline$D$ : «\ Tirer deux boules rouges »\ \newline$E$ : «\ Tirer deux
boules de la même couleur »\ 

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'événement $D$ est%
\[
p\left(  D\right)  =\frac{n\left(  n-1\right)  }{\left(  n+5\right)  \left(
n+4\right)  }%
\]


\item Calculer la probabilité de l'événement $E$, $p\left(  E\right)  $ en
fonction de $n$.\newline Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on
\[
p\left(  E\right)  \geqslant\frac{1}{2}%
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points -Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité-]Le plan
complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $. On considère les points $A$
et $B$ d'affixes respectives $i$ et $\left(  -i\right)  $. Soit $f$
l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte de $\left(
-i\right)  $ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ telle que
\[
z^{\prime}=\frac{1+iz}{z+i}%
\]


\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image par l'application $f$ du point $O$ ?

\item Quel est le point qui a pour image par l'application $f$ le point $C$
d'affixe $1+i$ ?

\item Montrer que l'équation
\[
\frac{1+iz}{z+i}=z
\]
admet deux solutions que l'on déterminera.

\item Vérifier que%
\[
z^{\prime}=\frac{i\left(  z-i\right)  }{z+i}%
\]
En déduire
\[
OM^{\prime}=\frac{AM}{BM}%
\]
et
\[
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}}\right)  =\left(
\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right)  +\frac{\pi}{2}+2k\pi\text{
avec }k\in\mathbb{Z}%
\]


\item Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images par
l'application $f$ situés sur un même cercle $\left(  C\right)  $ que l'on précisera.

\item Soit $M$ un point du cercle de diamètre $\left[  AB\right]  $ différent
de $A$ et $B.$ Montrer que son image $M^{\prime}$ est située sur l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème 11 points]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie I}{\subsection*{Partie I: Préliminaires}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I: Préliminaires}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}
$ par%
\[
g\left(  t\right)  =e^{t}-t-1
\]
Quel est le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]
-\infty,+\infty\right[  $ ?

\item En déduire les inégalités suivantes :

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $t$ :%
\[
e^{t}\geqslant t+1
\]%
\[
e^{t}>t
\]
et%
\[
-te^{t}>-1
\]


\item Pour tout réel $t>-1$ :%
\[
\ln\left(  1+t\right)  \leqslant t
\]

\end{enumerate}

\item En déduire que pour tout réel $x$ :%
\[
\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  \leqslant-xe^{-x}%
\]

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie II}{\subsection*{Partie II: Étude d'une fonction}%
%}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II: Étude d'une fonction}%
%EndExpansion


On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par%
\[
f\left(  x\right)  =x^{2}-2\ln\left(  e^{x}-x\right)
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que%
\[
f\left(  x\right)  =x^{2}-2x-2\ln\left(  1-xe^{-x}\right)
\]
Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?\newline On admettra que la limite
de la fonction $f$ en $-\infty$ est $+\infty$.

\item Calculer $f^{\prime}\left(  x\right)  $ et montrer que%
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{2\left(  x-1\right)  \left(  e^{x}%
-x-1\right)  }{e^{x}-x}%
\]
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

\item Dans un repère orthonormal (unité 3 cm), on considère la parabole
$\left(  P\right)  $ d'équation%
\[
y=x^{2}-2x
\]
et $\left(  C\right)  $ la courbe représentative de la fonction $f$. Montrer
que $\left(  C\right)  $ et $\left(  P\right)  $ sont asymptotes en $+\infty$.
Étudier les positions relatives des courbes $\left(  C\right)  $ et $\left(
P\right)  $.

\item Donner une équation de chacune des tangentes $D$ et $D^{\prime}$
respectivement aux courbes $\left(  P\right)  $ et $\left(  C\right)  $ au
point d'abscisse 0.

\item Tracer dans un même repère les courbes $\left(  C\right)  $ et $\left(
P\right)  $ et leurs tangentes $D$ et $D^{\prime}$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie III}{\subsection
%*{Partie III: Étude d'une intégrale}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III: Étude d'une intégrale}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. On pose :%
\[
u_{n}=\int_{0}^{n}xe^{-x}dx
\]


\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $u$ de terme général $u_{n}$ est croissante.

\item Calculer $u_{n}$ à l'aide d'une intégration par parties.

\item Déterminer la limite de la suite $\left(  u_{n}\right)  $.
\end{enumerate}

\item L'aire du domaine (en unités d'aire) limité par les droites d'équation
$x=0$ et $x=n$, la parabole $\left(  P\right)  $ et la courbe $\left(
C\right)  $ est définie par%
\[
I_{n}=-2\int_{0}^{n}\ln\left(  1-xe^{x}\right)  dx
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer en utilisant la question 3) des préliminaires que%
\[
I_{n}\geqslant2u_{n}%
\]


\item On admet que la suite $\left(  I_{n}\right)  $ a pour limite $l$.
Montrer que $l\geqslant2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}