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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13124195170817--
%%--Amérique du Nord 2000--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE AMERIQUE DU NORD 2000\bigskip}

{\Large ENONCE}
\end{center}

\begin{exercise}
[5 points]Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{u\,},\overrightarrow{v\,}\right)  $. Dans tout l'exercice
$z$ est un nombre complexe non nul. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe
le point $M^{\prime}$ d'affixe%
\index{Affixe}
\[
{z^{\prime}=-\frac{1}{z}}%
\]
puis le point $I$ milieu du segment $[MM^{\prime}]$. L'affixe de $I$ est donc
\[
{\frac{1}{2}\left(  z-\frac{1}{z}\right)  }%
\]
\textit{\ Note : Les questions 2,3 et 4 sont largement indépendantes.}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Donner une relation entre les modules de $z$ et $z^{\prime}$.%
\index{Module}%
\newline Donner une relation entre leurs arguments.%
\index{Argument}%


\item Sur la figure jointe est placé le point $M_{1}$ d'affixe $z_{1}$ sur le
cercle de centre $O$ et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir
géométriquement le point $M_{1}^{\prime}$, puis le point $I_{1}$ milieu du
segment $[M_{1}M_{1}^{\prime}]$. Effectuer cette construction.%
\index{Construction!géométrique}%

\end{enumerate}

\item Pour cette question , $\theta$ est un réel et $M$ est le point d'affixe
$z=e^{i\theta}$.

\begin{enumerate}
\item \label{2a_iozzzp}Calculer sous forme algébrique l'affixe de $I$.
\index{Forme!algébrique}%


\item Sur la figure jointe est placé le point $M_{2}$ d'affixe $z_{2}$ sur le
cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le
résultat de la question \textbf{\ref{2a_iozzzp}} on peut obtenir
géométriquement le point $I_{2}$ milieu du segment $[M_{2}M_{2}^{\prime}]$.
Effectuer cette construction.

\item Donner (sans justification ) l'ensemble décrit par $I$ lorsque $M $
décrit $(C)$.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, $M$ est un point du plan distinct de O.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels $M$ et $I $
sont confondus.

\item Développer $(z-2i)^{2}+3$.\newline Déterminer les points $M$ du plan
complexe pour lesquels l'affixe de $I$ est $2i$.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de $O$, d'affixe
$z=x+iy$ ( $x$ et $y$ réels ).

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie
imaginaire de l'affixe de $I$.%
\index{Partie!réelle}%
\index{Partie!imaginaire}%


\item Déterminer l'ensemble $A$ des points $M$ du plan pour lesquels $I $
appartient à l'axe des abscisses.

\item Déterminer l'ensemble $B$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$
appartient à l'axe des ordonnées.%

\[%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3.0726in}{3.0577in}{0pt}{}{}{fig12.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.0726in;  height 3.0577in;  depth 0pt;  original-width 2.9066in;
%original-height 2.8916in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig12.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\includegraphics[
height=3.0577in,
width=3.0726in
]%
{Include/i3fazv1j.eps}%
}%
%EndExpansion
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]%
\[%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{2.4126in}{2.5562in}{0pt}{}{}{fig13.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 2.4126in;  height 2.5562in;  depth 0pt;  original-width 2.2756in;
%original-height 2.4134in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig13.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\includegraphics[
height=2.5562in,
width=2.4126in
]%
{Include/i3fazv1l.eps}%
}%
%EndExpansion
\]


Soit le cube $OABCDEFG$ représenté sur la figure ci-dessus.%
\index{Cube}%
\index{Géométrie!dans l'espace}%
\newline L'espace est orienté par le repère orthonormal direct
$(O;\overrightarrow{OA\;},\overrightarrow{OC\;},\overrightarrow{OD\;}%
)$.\newline On désigne par $a$ un réel strictement positif. Les points $L$,$M$
et $K$ sont définis par:
\[
\overrightarrow{OL\;}=a\,\overrightarrow{OC\;}\qquad\overrightarrow
{OM\;}=a\,\overrightarrow{OA\;}\qquad\overrightarrow{BK\;}=a\,\overrightarrow
{BF\;}%
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DM\;}%
\wedge\overrightarrow{DL\;}$.

\item En déduire l'aire du triangle $DLM$.%
\index{Aire!du triangle}%


\item Démontrer que la droite $(OK)$ est orthogonale au plan $(DLM)$.%
\index{Orthogonalité}%

\end{enumerate}

\item On note $H$ le projeté orthogonal de $O$ (et de $K$ ) sur le plan
$(DML)$.%
\index{Projeté!orthogonal}%


\begin{enumerate}
\item Démontrer que :
\[
\overrightarrow{OM\;}.\overrightarrow{OK\;}=\overrightarrow{OH\;}%
.\overrightarrow{OK\;}%
\]


\item Les vecteurs $\overrightarrow{OH\;}$ et $\overrightarrow{OK\;}$ étant
colinéaires, on note $\lambda$ le réel tel que :
\[
\overrightarrow{OH\;}=\lambda\overrightarrow{OK\;}%
\]
Démontrer que :%
\index{Colinéarité}
\[
\lambda=\frac{a}{a^{2}+2}%
\]
En déduire que $H$ appartient au segment $[OK]$.

\item Déterminer les coordonnées de $H$.

\item Exprimer $\overrightarrow{HK\;}$ en fonction de $\overrightarrow{OK\;}
$. En déduire que :
\[
HK=\frac{a^{2}-a+2}{\sqrt{a^{2}+2}}%
\]

\end{enumerate}

\item Á l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre
$DLMK$ en fonction de $a$.%
\index{Calcul!de volume}%
\index{Tétraèdre}%
\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème 10 points]Soit $f$ la fonction définie sur $\left[  0;+\infty
\right[  $ par :%
\index{Fonction!exponentielle}
\[
f\left(  x\right)  =\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}}e^{-\frac{1}{x}}\text{ pour
}x>0\text{ et }f\left(  0\right)  =0
\]
On note $\left(  C\right)  $ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthonormal $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $ ( unité graphique 5
cm ).%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie I}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\left(  \Delta\right)  $ d'équation $y=1$ est
asymptote à $\left(  C\right)  .$
\index{Asymptote}%


\item Pour $x>0,$ calculer
\[
\frac{f\left(  x\right)  -f\left(  0\right)  }{x}%
\]
Etudier la limite de cette expression quand $x$ tend vers $0.$ On pourra
utiliser, pour $n$ entier naturel non nul :%
\index{Limite}
\[
\lim_{u\rightarrow+\infty}u^{n}e^{-u}=0
\]
Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ?\newline Que peut-on en déduire
pour la courbe $\left(  C\right)  $ ?

\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\left]  0;+\infty\right[  ,$ on a :
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{1-x}{x^{4}}e^{-\frac{1}{x}}%
\]


\item Etudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau des
variations de $f.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie II}{\subsection*{Partie II}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II}%
%EndExpansion


On note $g$ la fonction définie sur $\left]  0;+\infty\right[  $ par
\[
g\left(  x\right)  =f\left(  x\right)  -xf^{\prime}\left(  x\right)
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que, dans $\left]  0;+\infty\right[  ,$ les équations $g\left(
x\right)  =0$ et
\[
x^{3}+x^{2}+2x-1=0
\]
sont équivalentes.

\item Démontrer que l'équation
\[
x^{3}+x^{2}+2x-1=0
\]
admet une seule racine réelle $\alpha$ dont on justifiera un encadrement à
$10^{-2}$ près.%
\index{Encadrement}%


\item On pose
\[
A=\frac{f\left(  \alpha\right)  }{\alpha}%
\]
Encadrer $A$ à $2\times10^{-1}$ près ( justifier ) et montrer que
$A=f^{\prime}\left(  \alpha\right)  .$

\item Pour tout $a>0,$ on note $\left(  T_{a}\right)  $ la tangente à $\left(
C\right)  $ au point d'abscisse $a.$ Montrer que $\left(  T_{a}\right)  $ a
pour équation $y=Ax.$ Tracer $\left(  T_{a}\right)  $, puis la courbe $\left(
C\right)  .$ Ta%
\index{Tangente}%


\item Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes $\left(
T_{a}\right)  $ à $\left(  C\right)  $ ( en des points d'abscisses non nulles
), seule $\left(  T_{\alpha}\right)  $ passe par l'origine $O$.

\item On admettra que $\left(  T_{\alpha}\right)  $ est au-dessus de $\left(
C\right)  $ sur $\left]  0;+\infty\right[  .$

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique ( et sans justification ), donner le nombre de
solutions de l'équation $f\left(  x\right)  =m,$ suivant le réel $m$ donné.

\item Par lecture graphique ( et sans justification ), donner le nombre de
solutions de l'équation $f\left(  x\right)  =mx$ selon le réel $m$ donné.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie III}{\subsection*{Partie III}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Pour $n\in\mathbb{N}^{\ast},$ on pose
\[
u_{n}=\int_{\frac{1}{n}}^{1}f\left(  x\right)  \,dx
\]
Sans calculer explicitement $u_{n},$ déterminer le signe de $u_{n+1}-u_{n}%
.$\newline%
\index{Suite!et intégrale}%
En déduire que la suite $\left(  u_{n}\right)  $ est croissante.%
\index{Suite!croissante}%


\item Démontrer que la fonction $h,$ définie sur $\left]  0;+\infty\right[  $
par :
\[
h\left(  x\right)  =\left(  x+1\right)  e^{-\frac{1}{x}}%
\]
est primitive de $f$ sur $\left]  0;+\infty\right[  .$
\index{Primitive}%


\item Calculer $u_{n}.$ Interpréter graphiquement le résultat.

\item Etudier la convergence de la suite $\left(  u_{n}\right)  .$
\index{Convergence}%

\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}