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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 131239866104502--
%%--Remplacement 1999--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\large {\textbf{Baccalauréat S session de remplacement septembre 1999}%
}\\[0.5cm]}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points -Commun à tous les candidats-]Dans tout l'exercice, on donnera les
résultats sous forme de fractions irréductibles.\\[0.2cm]Une urne contient
trois boules noires et une boule blanche.\\[0.2cm]On considère l'expérience
suivante :\\[0.2cm]On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une
face noire et une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on
ajoute une boule blanche dans l'urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on
ajoute une boule noire dans l'urne.\\[0.2cm]Puis on tire simultanément, et au
hasard, trois boules de l'urne.

\begin{enumerate}
\item On appelle $E_{0}$ l'événement : aucune boule blanche ne figure parmi
les trois boules tirées et $B$ l'événement : le jeton est tombé sur la face blanche.

\begin{enumerate}
\item Calculer P ($E_{0} \cap B$), P ($E_{0} \cap\overline{B}$), puis P
($E_{0}$).

\item On tire trois boules de l'urne, aucune boule blanche ne figure dans ce
tirage. Quelle est la probabilité que le jeton soit tombé sur la face noire ?
\end{enumerate}

\item On appelle $E_{1}$ l'événement : une boule blanche et une seule figure
parmi les trois boules tirées et $B$ l'événement : le jeton est tombé sur la
face blanche.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement $E_{1}$.

\item On effectue successivement quatre fois l'expérience décrite au début,
qui consiste à lancer le jeton, puis à tirer les trois boules de
l'urne.\\[0.2cm]Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois une et
une seule boule blanche ?\\[0.2cm]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points -Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité]Soit le repère
orthonormal direct $\mbox{$\left(O ;\
\vecteur{u},\vecteur{v}\right)$}$ du plan complexe.\newline Les points $A$,
$B$, $C$ sont définis par leurs affixes respectives :
\[
z_{A} = 3 - i\sqrt{3}\ ;\ z_{B} = 3 + i\sqrt{3}\ ;\ z_{C} = 2 + \sqrt{3} + 3i.
\]


\begin{enumerate}
\item Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm (on placera
l'origine sur la gauche de la feuille).

\item Prouver que $OAB$ est un triangle équilatéral direct. Soit $G$ le centre
de gravité du triangle OAB. Déterminer l'affixe $z_{G}$ de $G$.\newline Dans
la suite de l'exercice, on étudie deux isométries transformant $[OA]$ en
$[GC]$.\newline

\item Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes et R l'application qui au point
$M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que%
\[
z^{\prime}=az+b
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ et $b$ pour que R$(O)=G$ et R$(A)=C$.

\item Prouver que R est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

\item Prouver que les droites $(OA)$ et $(GC)$ sont perpendiculaires. Que
peut-on dire des points $G$, $B$ et $C$ ?

\item Construire, en justifiant la construction, l'image du triangle $OAB$ par R.
\end{enumerate}

\item Soit $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ deux nombres complexes et $f$
l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$
d'affixe $z^{\prime}$ tel que
\[
z^{\prime}=a^{\prime}\overline{z}+b^{\prime}%
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ pour que $f(O)=G$ et $f(A)=C$.

\item Soit $I$ le milieu du segment $[OG]$. Déterminer le point $f(I)$. $f$
est-elle une réflexion ?

\item Construire en justifiant la construction, l'image du triangle $OAB $ par
$f$.\\[0.3cm]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points -Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité-]Le plan
est rapporté au repère orthonormal direct $\mbox{$\left(O ;\
\vecteur{u},\vecteur{v}\right)$}$ (unité graphique : 2 cm).\newline On note
$Z_{M}$ l'affixe du point $M$.\newline Soit $A$ le point d'affixe $4$ et $B$
le point d'affixe $4i$.\newline

\begin{enumerate}
\item Soit $\theta$ un réel de $[0,\ 2\pi[$ et $r$ un réel strictement
positif.\newline On considère le point $E$ d'affixe $re^{i\theta}$ et $F$ le
point tel que $OEF$ est un triangle rectangle isocèle vérifiant
$(\overrightarrow{\strut OE},\ \overrightarrow{\strut OF}) =
\displaystyle\frac{\pi}{2}$.\newline Quelle est, en fonction de $r$ et
$\theta$, l'affixe de $F$ ?

\item Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l'exercice. On
choisira, uniquement pour cette figure :
\[
\theta= \displaystyle\frac{5\pi}{6}\ \text{et}\ r=3.
\]


\item On appelle $P$, $Q$, $R$, $S$ les milieux respectifs des segments $[AB]
$, $[BE]$, $[EF]$, $[FA]$.

\begin{enumerate}
\item Prouver que $PQRS$ est un parallèlogramme.

\item On pose : $Z = \displaystyle\frac{Z_{R} - Z_{Q}}{Z_{Q} - Z_{P}}%
.$\newline Déterminer le module et un argument de Z. En déduire que $PQRS$ est
un carré.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $r$ et $\theta$, les affixes respectives des
points $P$ et $Q$.

\item Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'aire du carré $PQRS$ ?

\item $r$ étant fixé, pour quelle valeur de $\theta$ cette aire est-elle
maximale ?\newline Quelle est alors l'affixe de $E$ ?\\[0.3cm]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème 11 points]Soit $f$ la fonction définie sur $]0,\ +\infty\lbrack$ par
$f(x)=\displaystyle\frac{(\ln x)^{2}}{x}.$\newline On appelle $\mathcal{C}$ la
représentation graphique de $f$, dans un repère orthogonal
$\mbox{$\left(O;\  \vecteur{i},\vecteur{j}\right)$}$ du plan (unités
graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des
ordonnées).\\[0.5cm]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $0$.

\item Calculer $f^{\prime}(x)$ en fonction de $x$.\newline Montrer que
$f^{\prime}(x)$ a le même signe que $\ln x\ (2 - \ln x)$.\newline Déterminer
le sens de variation de $f$ sur $]0,\ + \infty[$.

\item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}$ de $f$ dans
$\mbox{$\left(O;\  \vecteur{i},\vecteur{j}\right)$}$.

\item On pose pour $p\geqslant1,\ $%
\[
I_{p}={\int_{\,1}^{\,e^{2}}\frac{(\ln x)^{p}}{x^{2}}\mathrm{d}x}%
\]


\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer :
\[
I_{1}={\int_{\,1}^{\,e^{2}}\frac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x}%
\]


\item Prouver, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier
$p$ supérieur ou égal à $1$ :
\[
I_{p+1}=-\frac{2^{\,p+1}}{e^{2}}+(p+1)\,I_{p}%
\]


\item En utilisant les résultats précédents, calculer successivement $I_{2}$,
$I_{3}$, $I_{4}$.

\item On fait tourner autour de l'axe des abscisses l'arc de courbe constitué
des points de $\mathcal{C}$, d'abscisses comprises entre $1$ et $e^{2}$. Le
point $M$ de $\mathcal{C}$, d'abscisse $x$, décrit alors un cercle de rayon
$f(x)$.\newline Calculer le volume du solide ainsi engendré, en unités de
volume.\\[0.1cm]
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie II}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II}%
%EndExpansion


Soit $a$ un réel strictement positif et $A$ le point de $\mathcal{C}$
d'abscisse $a$. Soit T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$.

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire une équation de T$_{a}$.

\item Déterminer les réels $a$ pour lesquels T$_{a}$ passe par l'origine $O$
du repère.

\item Donner une équation de chacune des tangentes à $\mathcal{C}$, passant
par $O$. Tracer ces tangentes sur la figure.\\[0.1cm]
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie III}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III}%
%EndExpansion


On étudie maintenant l'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite $\Delta$
d'équation $y=\displaystyle\frac{1}{e^{2}}x.$

\begin{enumerate}
\item On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{1}(x) = x - e\,\ln
x$.\newline Montrer que $\varphi_{1}$ est strictement croissante sur $]e,\,
+\infty[$ et strictement décroissante sur $]0,\,e[$.

\item On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{2}(x) = x + e\,\ln x$.

\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variation de $\varphi_{2}$ sur $]0,\,+ \infty[$.

\item Prouver que $\varphi_{2}(x)=0$ a une solution unique sur $\left[
\displaystyle\frac{1}{2},\,1\right]  $. On appelle $\alpha$ cette solution ;
donner un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-1}$.

\item En déduire que $\varphi_{2} (x) = 0$ a une seule solution sur
$]0,\,+\infty[$.
\end{enumerate}

\item Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}