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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 131236988135157--
%%--Pondichéry 1999--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE Pondichéry 1999}
\end{center}

\begin{exercise}
[5 points]\textit{Les questions 2 et 3 sont indépendantes.}\newline

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2}-2\sqrt{2}z+4=0$.

\item On désignera par $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est
positive et par $z_{2}$ l'autre solution.

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres $z_{1}$ et
$z_{2}$.

\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $\left(
\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)  ^{2}$.
\end{enumerate}

\item Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
$\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$ (unité : 1 cm), on considère le
point $\mathrm{M_{1}}$ d'affixe $\sqrt{2}(1+i)$, le point $\mathrm{M_{2}}$
d'affixe $\sqrt{2}(1-i)$ et le point A d'affixe $z_{A}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'affixe du point $\mathrm{M_{3}}$, image de $\mathrm{M_{2}}
$ par l'homothétie $h$ de centre A et de rapport -3.

\item Déterminer l'affixe du point $\mathrm{M_{4}}$, image de $\mathrm{M_{2}}
$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.

\item Placer dans le même repère les points A, $\mathrm{M_{1}}$,
$\mathrm{M_{2}}$, $\mathrm{M_{3}}$, et $\mathrm{M_{4}}$.

\item Calculer $\dfrac{z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z1}$.

\item Soient I le milieu du segment [$\mathrm{M_{3}}$$\mathrm{M_{4}}$] et
$\mathrm{M_{5}}$ le symétrique de $\mathrm{M_{1}}$ par rapport à I. Montrer
que les points $\mathrm{M_{1}}$, $\mathrm{M_{3}}$, $\mathrm{M_{5}}$ et
$\mathrm{M_{4}}$ forment un carré.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[4 points]On considère un triangle ABC du plan.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer et construire le point G, barycentre de
$[(A;1);(B;-1);(C;1)]$.

\item Déterminer et construire le point G', barycentre de $[(A ; 1) ; (B ; 5)
; (C ; -2)]$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Soit J le milieu de [AB].\newline Exprimer $\overrightarrow
{\strut\mathrm{GG^{\prime}}}$ et $\overrightarrow{\strut\mathrm{JG^{\prime}}}$
en fonction de $\overrightarrow{\strut\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow
{\strut\mathrm{AC}}$ et en déduire l'intersection des droites (GG') et (AB).

\item Montrer que le barycentre I de [(B ; 2) ; (C ; -1)] appartient à (GG').
\end{enumerate}

\item Soit D un point quelconque du plan.\newline Soient O le milieu de [CD]
et K le milieu de [OA].

\begin{enumerate}
\item Déterminer trois réels $a$, $d$, et $c$ tels que K soit barycentre de
\[
\lbrack(A;a);(D;d);(C;c)]
\]


\item Soit X le point d'intersection de (DK) et (AC).\newline Déterminer les
réels $a^{\prime}$ et $c^{\prime}$ tels que X soit barycentre de [(A
;$a^{\prime}$) ; (C ; $c^{\prime}$)].\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Spécialité: 4 points]\textbf{{\large Partie A}}

On admet que 1999 est un nombre premier. Déterminer l'ensemble des couples
$(a;b) $ d'entiers naturels admettant pour somme 11994 et pour PGCD 1999.

\textbf{{\large Partie B}}

On considère l'équation $(E) $ d'inconnue $n $ appartenant à $\mathbb{N}$ :
\[
n^{2}-Sn+11994=0
\]
où $S $ est un entier naturel. On s'intéresse à des valeurs de $S $ telles que
$(E) $ admette deux solutions dans $\mathbb{N}$.

\begin{enumerate}
\item Peut-on déterminer un entier $S $ tel que 3 soit solution de $(E) $ ? Si
oui, préciser la deuxième solution.

\item Peut-on déterminer un entier $S $ tel que 5 soit solution de $(E) $ ?

\item Montrer que tout entier $n$ solution de $(E)$ est un diviseur de
11994.\newline En déduire toutes les valeurs possibles de $S$ telles que $(E)$
admette deux solutions entières.
\end{enumerate}

\textbf{{\large PARTIE C}}

Comment montrerait-on que 1999 est un nombre premier ? Préciser le
raisonnement employé.

La liste de tous les nombres premiers inférieurs à 100 est précisée ci-dessous :

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty
\lbrack$ par%
\[
f(x)=\frac{e^{x}-1}{x^{2}}%
\]
\newline

\textbf{Partie A}\newline$\bullet$ \textbf{Recherche graphique d'un extremum}
\newline L'observation de la courbe représentative de la fonction $f$ sur
l'écran graphique d'une calculatrice donne à penser que $f$ admet un minimum
sur l'intervalle [0,5 ; 2].\newline On se propose d'en donner une valeur
approchée.\newline Observer ci-dessous la représentation graphique de la
fonction $f^{\prime}$, dérivée de $f$, sur l'intervalle [0,5 ; 2].\newline%

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\begin{center}
\includegraphics[
height=3.1025in,
width=4.6476in
]%
{Include/i3fawk0f.eps}%
\end{center}
%EndExpansion


\textbf{Partie B}\newline$\bullet$ \textbf{Étude de la fonction F}\newline On
considère la fonction $h$ définie sur [0 ;+$\infty$[ par
\[
h(x)=xe^{x}-2e^{x}+2
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $h$ (on précisera $h(0)$ mais la limite en
$+\infty$ n'est pas demandée).

\item Déterminer le signe de $h\left(  \frac{3}{2}\right)  $.\newline En
déduire qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à l'intervalle $\left[
\frac{3}{2}; 2\right]  $ tel que $h(a)=0$.\newline En déduire le signe de $h$
sur [0 ;+$\infty$[.

\item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath$f$ \unboldmath


\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle ]0; $\infty$[.

\item Montrer que, pour tout nombre $x$, strictement positif,
\[
f^{\prime}(x)=\frac{xe^{x}-2e^{x}+2}{x^{3}}.
\]
En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.

\item Montrer que
\[
f(a)=\frac{-1}{a(a-2)}%
\]
et en déduire le signe de $f(a)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}\newline$\bullet$ \textbf{Recherche d'un encadrement du
nombre} \boldmath$a$ \unboldmath


\begin{enumerate}
\item Démontrer que, sur [0; +$\infty$[, l'équation $h(x)=0$ équivaut à
$2(1-e^{-x})=x$

\item Soit la fonction $g$ définie sur [0; +$\infty$[ par $g(x)=2(1-e^{-x})$.
On pose $I=\left[  \frac{3}{2}; 2\right]  $.\newline Montrer que, pour tout
$x$ de l'intervalle I, $\vert g^{\prime}(x)\vert\leqslant\frac{1}{2}$.

\item Soit la suite $(x_{n})_{n\geqslant1}$ définie par
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x_{1}=\frac{3}{2}\\
x_{n+1}=g(x_{n})\quad\text{pour}\quad n\geqslant1
\end{array}
\right.
\]
On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $x_{n}$ appartient à I.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pout tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 :
\[
|x_{n+1}-a|\leqslant\frac{1}{2}|x_{n}-a|
\]%
\[
\text{et}\qquad|x_{n}-a|\leqslant\frac{1}{2^{n}}%
\]
En déduire que la suite $(x_{n})$ converge vers $a$.

\item Déterminer un entier $p$ tel que $x_{p}$ soit une valeur approchée à
$10^{-3}$ près du nombre réel $a$. Donner une valeur approchée de $x_{p}$ avec
trois décimales.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie D}\newline$\bullet$ \textbf{Quelques propriétés d'une primitive
de} $f$\newline On appelle F la primitive de $f$ sur ]0;+$\infty$[ qui
s'annule en 1.\newline Ainsi l'on a, pour tout réel $x$ de ]0;+$\infty$[,
$\text{F}(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$.

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de F sur ]0;+$\infty$[.

\item Démontrer que, pour tout $x$ supérieur ou égal à 2,
\[
\int_{2}^{x}f(2)dt\leqslant\int_{2}^{x}f(t)dt
\]
Par comparaison de limites, et en utilisant la relation de Chasles, en déduire
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{F}(x)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}