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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13122658612421--
%%--Polynésie 1999--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S}\\[0pt]}

{\LARGE {POLYNESIE 1999}\\[0pt]}

{\LARGE {ENONCE} }
\end{center}

\begin{exercise}
[5 points]Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.\newline On
en prélève $n$ successivement et avec remise, $n$ étant un entier naturel
supérieur ou égal à 2.\newline On considère les deux événements suivants
:\newline$A$: \og On obtient des boules des deux couleurs\fg;\newline$B$ :
\og On obtient au plus une blanche\fg.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement :\newline\og Toutes les boules
tirées sont de la même couleur\fg.

\item Calculer la probabilité de l'évènement :\newline\og On obtient
exactement une boule blanche\fg.

\item En déduire que les probabilités $p(A\cap B)$, $p(A)$, $p(B)$ sont :
\[
p(A\cap B)=\frac{n}{2^{n}}\qquad p(A)=1-\frac{1}{2^{n-1}}\qquad p(B)=\frac
{n+1}{2^{n}}%
\]

\end{enumerate}

\item Montrer que : $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ si et seulement si :
\[
2^{n-1}=n+1
\]


\item Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel supérieur ou
égal à deux par :
\[
u_{n}=2^{n-1}-(n+1)
\]
Calculer $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$.\newline Démontrer que la suite $(u_{n})$
est strictement croissante.

\item En déduire la valeur de l'entier $n$ tel que les événements $A$ et $B$
soient indépendants.\bigskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[4 points]Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal direct
$(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d'unité graphique 2 cm.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
\[
z^{3}-8=0
\]


\item On considère dans le plan $(P)$ les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes
respectives :
\[
z_{A}=-1+i\sqrt{3}\qquad z_{B}=2\qquad z_{C}=-1-i\sqrt{3}%
\]


\begin{enumerate}
\item Ecrire $z_{A}$ et $z_{C}$ sous la forme trigonométrique.

\item Placer les points $A$, $B$ et $C$.

\item Déterminer la nature du triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\item On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui à tout point
$M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe
\[
{z^{\prime}=e^{\frac{2i\pi}{3}}z}%
\]


\begin{enumerate}
\item Caractériser géométriquement l'application $f$.

\item Déterminer les images des points $A$ et $C$ par $f$.\newline En déduire
l'image de la droite $(AC)$ par $f$.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=x-e^{2x-2}%
\]
On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
$\left(  O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)  $.\newline On prendra
5 cm comme unité.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ .

\item Vérifier que pour tout réel $x$ non nul :
\[
f(x)=x\,\left[  1-2e^{-2}\times\left(  \frac{e^{2x}}{2x}\right)  \right]
\]
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\item Déterminer $f^{\prime}$. Etudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et calculer
la valeur exacte du maximum de $f$.

\item Démontrer que la droite $(D)$ d'équation : $y=x$ est asymptote à la
courbe $(C)$.\newline Etudier la position relative de $(C)$ et de $(D)$.

\item On note $A$ le point de la courbe $(C)$ d'abscisse 1.\newline Déterminer
une équation de la tangente $(T)$ en $A$ à la courbe $(C)$.

\item
\begin{enumerate}
\item On note $I$ l'intervalle $[0; 0,5]$.\newline Démontrer que l'équation :
$f(x)=0$ admet dans l'intervalle $I$ une unique solution qu'on notera $a$.

\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $a $.
\end{enumerate}

\item Construire la courbe $(C)$, l'asymptote $(D)$ et la tangente $(T)$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie B: Détermination d'une valeur approchée de $a$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B: Détermination d'une valeur approchée de $a$}%
%EndExpansion


On définit dans $\mathbb{R}$ la suite $(u_{n})$ par :\newline%
\[
u_{o}=0\text{ et }{u_{n+1}=e^{2u_{n}-2}}%
\]


\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
g(x)=e^{2x-2}%
\]
\newline Démontrer que l'équation : $f(x)=0$ est équivalente à :
$g(x)=x$.\newline En déduire $g(a)$.

\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$ on a :
\[
|g^{\prime}(x)|\leqslant\frac{2}{e}%
\]


\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $g(x)$ appartient
à $I$.

\item Utiliser l'inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour
tout entier naturel $n$ :
\[
|u_{n+1}-a|\leqslant\frac{2}{e}|u_{n}-a|
\]


\item Démontrer, par récurrence que :
\[
|u_{n}-a|\leqslant\left(  \frac{2}{e}\right)  ^{n}%
\]


\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et donner sa limite.

\item Déterminer un entier naturel $p$ tel que :
\[
|u_{p}-a|<10^{-5}%
\]


\item En déduire une valeur approchée de $a$ à $10^{-5}$ près : on expliquera
l'algorithme utilisé sur la calculatrice.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}