%\usepackage{pst-plot}

\documentclass[a4paper]{article}%
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{xspace}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lastpage}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{afterpage}
\usepackage[french]{babel}%
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{amssymb}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 18:55:14}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
\geometry{a4paper,marginpar=2cm,lmargin=0cm,rmargin=2cm,marginparsep=0pt,includemp=true,reversemp=true,headsep=-0.2in}
\setlength{\theorempostskipamount}{2\baselineskip}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{\theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
}
\newcounter{Cack}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{acknowledgement}[Cack]{A savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{Méthode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccorr}[section]
\renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction de l'exercice}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypothèse}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Critère}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{Définition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{\theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}{\Roman{Cprob}.}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
{\theorembodyfont{\large\mdseries}\newcounter{Cprop}[section]\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
\newcounter{Crem}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1}\renewcommand{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline}{#1}}
\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}[1][-]{\stepcounter{exo}\par\vspace{2ex}\noindent{\bf Exercice \theexo\space}\points{#1}\\[1ex]\noindent}
\newcommand{\GN}{\ensuremath{\mathbb{N}}\xspace}
\newcommand{\GR}{\ensuremath{\mathbb{R}}\xspace}
\newcommand{\GC}{\ensuremath{\mathbb{C}}\xspace}
\newcommand{\GZ}{\ensuremath{\mathbb{Z}}\xspace}
\newcommand{\GQ}{\ensuremath{\mathbb{Q}}\xspace}
\newcommand{\GD}{\ensuremath{\mathbb{D}}\xspace}
\newcommand{\ssi}{\ensuremath{\Longleftrightarrow}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow{#1\;}}
\newcommand{\oij}{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}
\newcommand{\oijk}{\left(O;\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k}\right)}
\newcommand{\ouv}{\left(O;\vecteur{u},\vecteur{v}\right)}
\newcommand{\congru}[3]{#1\equiv#2\quad\text{modulo }#3}
\newcommand{\segN}[2]{\left\{ #1\ldots #2\right\}}
\newcommand{\anglevec}[2]{\left(\vecteur{#1};\vecteur{#2}\right)}
\newcommand{\PGCD}{\mathit{PGCD}}
\newcommand{\aire}[1]{$\mathcal{A}ire(#1)$}
\newcommand{\Mod}{\quad\mathit{Mod}}
\newcommand{\Intoo}[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand{\Intfo}[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand{\Intof}[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand{\Intff}[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newenvironment{listerd}
{   \renewcommand{\labelitemi}{\textasteriskcentered}
\renewcommand{\labelitemii}{\textperiodcentered}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\newcommand{\cro}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
}
\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}
}
\everymath{\displaystyle}
\def \points#1%
{\if -#1 \xspace \else {\small ( #1 points )}\xspace\fi }
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13122560016585--
%%--National 1999--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{National 1999 Série S}}\\[0pt]}

\bigskip

{\LARGE {\textbf{Enoncé}}}

\bigskip
\end{center}

\begin{exercise}
[5\ points -Commun à tous les candidats-]Le plan P est rapporté au repère
orthonormal direct $\left(  O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  .$
On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes. On considère l'application $F$
du plan dans lui-même qui, à tout point $m$, d'affixe $z$, associe le point
$M$ d'affixe%
\[
\frac{1}{2}z^{2}-z
\]


L'objet de cet exercice est de tracer la courbe $\Gamma$ décrite par $M$
lorsque $m$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon 1.

Soit $t$ un réel de $\left[  -\pi,\pi\right]  $ et $m$ le point de
$\mathcal{C} $ d'affixe $z=e^{it}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de coordonnées :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\left(  t\right)  =\frac{1}{2}\cos2t-\cos t\\
y\left(  t\right)  =\frac{1}{2}\sin2t-\sin t
\end{array}
\right.
\]
Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe
$\Gamma.$

\item Comparer $x\left(  -t\right)  $ et $x\left(  t\right)  $ d'une part,
$y\left(  -t\right)  $ et $y\left(  t\right)  $ d'autre part. En déduire que
$\Gamma$ admet un axe de symétrie que l'on précisera.

\item Montrer que $x^{\prime}\left(  t\right)  =\sin t\left(  1-2\cos
t\right)  $. Étudier les variations de $x$ sur $\left[  0,\pi\right]  $.

\item Montrer que $y^{\prime}\left(  t\right)  =\left(  \cos t-1\right)
\left(  1+2\cos t\right)  $. Étudier les variations de $y$ sur $\left[
0,\pi\right]  $.

\item Dans un même tableau faire figurer les variations de $x$ et $y$ sur
$\left[  0,\pi\right]  .$

\item Placer les points de $\Gamma$ correspondant aux valeurs $0,$ $\frac{\pi
}{3},$ $\frac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du paramètre $t$ et tracer les tangentes en
ces points ( on admettra que pour $t=0$ la tangente à $\Gamma$ est
horizontale). Tracer la partie de $\Gamma$ obtenue lorsque $t$ décrit $\left[
0,\pi\right]  $ puis tracer $\Gamma$ complètement.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5\ points -Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité-]Pour tout
entier naturel $n$ non nul, on considère les nombres
\[
a_{n}=4\times10^{n}-1\quad b_{n}=2\times10^{n}-1\text{ et }c_{n}=2\times
10^{n}+1
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_{1},$ $b_{1},$ $c_{1}$, $a_{2},$ $b_{2},$ $c_{2},$ $a_{3},$
$b_{3}$ et $c_{3}.$

\item Combien les écritures décimales des nombres $a_{n}$ et $c_{n}$ ont-elles
de chiffres ? Montrer que $a_{n}$ et $c_{n}$ sont divisibles par 3.

\item Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100
donnée ci-dessous, que $b_{3}$ est premier.

\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $b_{n}\times
c_{n}=a_{2n}$.\newline En déduire la décomposition en produit de facteurs
premiers de $a_{6}$

\item Montrer que $PGCD$ $\left(  b_{n},c_{n}\right)  =PGCD\left(
c_{n},2\right)  .$ En déduire que $b_{n}$ et $c_{n}$ sont premiers entre eux.
\end{enumerate}

\item On considère l'équation :%
\[
\left(  1\right)  \qquad b_{3}x+c_{3}y=1
\]
d'inconnues les entiers relatifs $x$ et $y$.

\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que $\left(  1\right)  $ possède au moins une solution.

\item Appliquer l'algorithme d'Euclide aux nombres $c_{3}$ et $b_{3}$; en
déduire une solution particulière de $\left(  1\right)  $

\item Résoudre l'équation $\left(  1\right)  $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :} \newline2; 3; 5; 7; 11;
13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5\ points -Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité-]Dans cet
exercice, $n$ est un entier naturel non nul. On considère la suite $\left(
u_{n}\right)  $ définie par :%
\[
u_{n}=\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}e^{\frac{t}{n}}dt
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\left[  0,2\right]  $ par
\[
\varphi\left(  t\right)  =\frac{2t+3}{t+2}%
\]
Étudier les variations de $\varphi$ sur $\left[  0,2\right]  .$ En déduire
que, pour tout réel $t$ dans $\left[  0,2\right]  ,$%
\[
\frac{3}{2}\leqslant\varphi\left(  t\right)  \leqslant\frac{7}{4}%
\]


\item Montrer que, pour tout réel $t$ dans $\left[  0,2\right]  $, on a :%
\[
\frac{3}{2}e^{\frac{t}{n}}\leqslant\varphi\left(  t\right)  e^{\frac{t}{n}%
}\leqslant\frac{7}{4}e^{\frac{t}{n}}%
\]


\item Par intégration en déduire que :%
\[
\frac{3}{2}n\left(  e^{\frac{2}{n}}-1\right)  \leqslant u_{n}\leqslant\frac
{7}{4}n\left(  e^{\frac{2}{n}}-1\right)
\]


\item On rappelle que
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{h}-1}{h}=1
\]
Montrer {}que, si $\left(  u_{n}\right)  $ possède une limite $L$, alors
\[
3\leqslant L\leqslant\frac{7}{2}%
\]


\item Vérifier que pour tout $t$ dans $\left[  0,2\right]  $, on a%
\[
\frac{2t+3}{t+2}=2-\frac{1}{t+2}%
\]
En déduire l'intégrale
\[
I=\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}dt
\]


\item Montrer que, pour tout $t$ dans $\left[  0,2\right]  ,$ on a
\[
1\leqslant e^{\frac{t}{n}}\leqslant e^{\frac{2}{n}}%
\]
En déduire que
\[
I\leqslant u_{n}\leqslant e^{\frac{2}{n}}I
\]


\item Montrer que $\left(  u_{n}\right)  $ est convergente et déterminer sa
limite $L$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 10 points]Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère
orthonormal $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $ : on prendra 2 cm
comme unité sur les deux axes et on placera l'axe des abscisses au milieu de
la feuille et l'axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie A: Étude d'une fonction $f$ et de sa courbe représentative $\mathcal
%{C}$}}}%
%BeginExpansion
\subsection
*{Partie A: Étude d'une fonction $f$ et de sa courbe représentative $\mathcal
{C}$}%
%EndExpansion


On considère la fonction $f$, définie sur $\left]  0,+\infty\right[  $ par :%
\[
f\left(  x\right)  =\left(  1-\frac{1}{x}\right)  \left(  \ln x-2\right)
\]
et on désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative relativement au
repère $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $0.$

\item Montrer que $f$ est dérivable sur $\left]  0,+\infty\right[  $ et
calculer $f^{\prime}\left(  x\right)  $.

\item Soit $u$ la fonction définie sur $\left]  0,+\infty\right[  $ par
\[
u\left(  x\right)  =\ln x+x-3
\]


\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $u$.

\item Montrer que l'équation $u\left(  x\right)  =0$ possède une solution
unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[  2,3\right]  .$ Montrer que
$2,20<\alpha<2,21$.

\item Étudier le signe de $u\left(  x\right)  $ sur $\left]  0,+\infty\right[
.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.

\item Exprimer $\ln\alpha$ comme polynôme en $\alpha$. Montrer que%
\[
f\left(  \alpha\right)  =-\frac{\left(  \alpha-1\right)  ^{2}}{\alpha}%
\]
En déduire un encadrement de $f\left(  \alpha\right)  $ d'amplitude
$2\times10^{-2}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f\left(  x\right)  .$

\item Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie B: Étude d'une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B: Étude d'une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$}%
%EndExpansion


Soit $F$ la primitive de $f$ sur $\left]  0,+\infty\right[  $ qui s'annule
pour $x=1.$ On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de $F$ relativement
au repère $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Sans calculer $F\left(  x\right)  ,$ étudier les variations de $F$ sur
$\left]  0,+\infty\right[  .$

\item Que peut-on dire des tangentes à $\Gamma$ en ses points d'abscisses $1$
et $e^{2}$?
\end{enumerate}

\item \emph{Calcul de }$F\left(  x\right)  $\emph{.}

\begin{enumerate}
\item $x$ étant un réel strictement positif, calculer l'intégrale
\[
\int_{1}^{x}\ln t\,dt
\]
( on pourra faire une intégration par parties).

\item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif :%
\[
f\left(  x\right)  =\ln x-\frac{\ln x}{x}+\frac{2}{x}-2
\]


\item En déduire l'expression de $F\left(  x\right)  $ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\lim_{x\rightarrow0}\left(  x\ln x\right)  =0$. En déduire
la limite de $F$ en $0.$

\item Montrer que, pour $x$ strictement supérieur à $1,$
\[
F\left(  x\right)  =x\ln x\left(  1-\frac{1}{2}\times\frac{\ln x}{x}+\frac
{2}{x}-\frac{3}{\ln x}\right)  +3
\]
En déduire la limite de $F$ en $+\infty$

\item Dresser le tableau de variation de $F$.

\item Tracer $\Gamma$ sur le même graphique que $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\item \emph{Calcul d'une aire.}\newline Calculer, en cm$^{2}$, l'aire du
domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites
d'équations $x=1$ et $x=e^{2}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}