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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13121833312798--
%%--Guadeloupe 1999--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE SUJETS DE BACCALAUREAT SERIE S\bigskip}

{\LARGE GUADELOUPE 1999\bigskip}

{\LARGE ENONCE}

\bigskip
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]Lors d'un examen , un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.) est
utilisé.\newline On s'intéresse à cinq questions de ce Q.C.M.\textbf{supposées
indépendantes}.A chaque question sont associées quatre affirmations ,
numérotées 1,2,3 et 4, dont une seule est exacte.\newline Un candidat doit
répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de l'affirmation
qu'il juge exacte ; sa réponse est correcte si l'affirmation qu'il a retenue
est vraie, sinon sa réponse est incorrecte. \newline Dans cet exercice , les
probabilités demandées seront données sous forme fractionnaire.\newline

\begin{enumerate}
\item Un candidat répond à chaque question au hasard , c'est-à-dire qu'il
considère que les quatre affirmations correspondantes sont
équiprobables.\newline

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de chacun des événements suivants:\newline A :
''Le candidat répond correctement à la première des cinq questions'';\newline
B : ''Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur
cinq''.\newline

\item On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note -1 à toute
réponse incorrecte.\newline Calculer la probabilité de l'évènement C : ''Le
candidat obtient une note au moins égale à 10 pour l'ensemble des cinq
questions''.\newline
\end{enumerate}

\item On suppose maintenant qu'un candidat connaît la réponse correcte à deux
questions et qu'il répond au hasard aux trois autres questions.\newline Quelle
est la probabilité de l'évènement C décrit au \textbf{1.b}?\bigskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;$\vec{u}$,
$\vec{v}$).\newline On considère le point A d'affixe 1 et , pour tout $\theta$
appartenant à $[0;2\pi\lbrack$ , le point M d'affixe $z=e^{i\theta}$. On
désigne par P le point d'affixe $1+z$ et par Q le point d'affixe $z^{2}%
$.\newline

\begin{enumerate}
\item Á partir du point M ,donner une construction géométrique du point P et
une construction géométrique du point Q. Les points O ,A , M, Q et P seront
placés sur une même figure.

\item Déterminer l'ensemble des points P pour $\theta$ appartenant à
$[0,2\pi\lbrack$.\newline Tracer cet ensemble sur la figure précédente
.\newline

\item Soit S le point d'affixe $1+z+z^{2}$ , où $z$ désigne toujours l'affixe
du point M . Construire S , en justifiant la construction.\newline

\item Dans le cas où S est différent de O , Tracer la droite (OS).\newline
Quelle conjecture apparaît , relativement au point M?\newline Démontrer que le
nombre
\[
\frac{1+z+z^{2}}{z}%
\]
est un réel , quel que soit $\theta$ appartenant à $[0,2\pi\lbrack$.\newline
Conclure sur la conjecture précédente.\bigskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]L'objet de ce problème est d'étudier une fonction à
l'aide d'une fonction auxiliaire et de calculer l'aire d'un domaine plan.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]  -1,+\infty\right[  $
par :
\[
f\left(  x\right)  =\frac{x}{x+1}-2\ln\left(  x+1\right)
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $f^{\prime}\left(  x\right)  ,$ étudier son signe et en déduire
le tableau de variation de la fonction $f.$

\item Calculer $f\left(  0\right)  .$ Montrer que l'équation $f\left(
x\right)  =0$ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on désigne par
$\alpha, $ appartient à $\left[  -0,72;-0,71\right]  .$

\item Donner le signe de $f\left(  x\right)  ,$ pour $x$ appartenant à
$\left]  -1,+\infty\right[  .$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble $\left]  -1;0\right[  \cup\left]
0,+\infty\right[  $ par :
\[
g\left(  x\right)  =\frac{\ln\left(  x+1\right)  }{x^{2}}%
\]


\begin{enumerate}
\item \emph{Etude de }$g$\emph{\ aux bornes de son ensemble de définition.}

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $g\left(  x\right)  $ quand $x$ tend vers $0$
par valeurs inférieures et quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.

\item Calculer $\lim_{x\rightarrow-1}g\left(  x\right)  $ et $\lim
_{x\rightarrow+\infty}g\left(  x\right)  .$
\end{enumerate}

\item \emph{Sens de variation de }$g.$

\begin{enumerate}
\item Calculer $g^{\prime}\left(  x\right)  $ et déduire, à l'aide de la
partie $A,$ son signe.

\item Montrer que
\[
g\left(  \alpha\right)  =\frac{1}{2\alpha\left(  \alpha+1\right)  }%
\]
En déduire une valeur approchée de $g\left(  \alpha\right)  $ en prenant
$\alpha=-0,715.$
\end{enumerate}

\item \emph{Tableau de variation et représentation graphique de }$g.$

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g.$

\item Représenter graphiquement la fonction $g$ dans le plan rapporté à un
repère orthonormal ( unité graphique : $2$ cm ).
\end{enumerate}

\item \emph{Calcul d'aire}\newline Soit $a$ un réel strictement supérieur à
$0.$ On pose :
\[
I\left(  a\right)  =\int_{1}^{a}g\left(  x\right)  \;dx
\]


\begin{enumerate}
\item Donner, suivant les valeurs de $a,$ une interprétation géométrique du
réel $I\left(  a\right)  .$

\item En remarquant que, pour $x$ appartenant à $\left]  0,+\infty\right[  $
:
\[
\frac{1}{x\left(  1+x\right)  }=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}%
\]
calculer $I\left(  a\right)  $ à l'aide d'une intégration par parties.

\item Calculer $\lim_{a\rightarrow+\infty}I\left(  a\right)  $ et
$\lim_{a\rightarrow0}I\left(  a\right)  .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}