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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13121778073740--
%%--Centres étrangers 1999--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S}\\[0pt]}

{\LARGE {CENTRES ETRANGERS 1999}\\[0pt]}

{\LARGE {ENONCE} }
\end{center}

\begin{exercise}
[5 points]%
\begin{enumerate}
\item Une urne $U_{1}$ contient 2 jetons numérotés 1 et 2.\newline Une urne
$U_{2}$ contient 4 jetons numérotés 1, 2, 3 et 4.\newline On choisit au hasard
une urne, puis un jeton dans cette urne.\newline(Les choix sont supposés équiprobables)

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1 ?

\item On a tiré un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu'il
provienne de l'urne $U_{1}$ ?
\end{enumerate}

\item On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc
les 6 jetons précédents. On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette
urne.\newline Les tirages sont supposés équiprobables.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de tirer 2 jetons identiques.

\item Soit $S$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage , associe la somme
des numéros des 2 jetons tirés. \newline Déterminer la loi de probabilité de
$S$.

\item Deux joueurs, Claude et Dominique, décident que si la somme des numéros
tirés est impaire, Claude donne 10 euros à Dominique et que, dans le cas
contraire, Claude reçoit $\lambda$ euros de Dominique.\newline On note $X$ la
variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique de
Claude.\newline Calculer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de
$\lambda$ puis déterminer $\lambda$ pour que le jeu soit équitable ( c'est à
dire pour que $E(X)$ soit égale à 0 ).\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal
$(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, $A$, $A^{\prime}$, $B$,
$B^{\prime}$ sont les points d'affixes respectives $1,-1,i,-i$.\newline A tout
point $M$ d'affixe $z$, distinct des points $O$, $A$, $A^{\prime}$,$B$,
$B^{\prime}$, on associe les points $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixes respectives
$z_{1}$ et $z_{2}$ , tels que les triangles $BMM_{1}$ et $AMM_{2} $ soient
rectangles isocèles, avec :
\[
(\overrightarrow{M_{1}B},\overrightarrow{M_{1}M})=(\overrightarrow{M_{2}%
M},\overrightarrow{M_{2}A})=\frac{\pi}{2}%
\]
\textit{On fera une figure.}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier les égalités :\newline$z-z_{1}=i(i-z_{1})$ et $1-z_{2}%
=i(z-z_{2})$\newline

\item Vérifier que $z_{1}$ et $z_{2}$ peuvent s'écrire : \newline%
$\displaystyle{z_{1}= \frac{1+i}{2}\, (z+1)}$ et $\displaystyle {z_{2}=
\frac{1-i}{2}\, (z+i)}$\newline
\end{enumerate}

\item On se propose dans cette question de déterminer les points $M$ pour
lesquels le triangle $OM_{1}M_{2}$ est équilatéral.

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $OM_{1}=OM_{2}$ équivaut à $|z+1|=|z+i|$.\newline En
déduire l'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ tels que $OM_{1}=OM_{2}$ et
tracer $(\Delta)$ sur la figure.

\item Montrer que : $OM_{1}=M_{1}M_{2}$ équivaut à : $|z+1|^{2}=2|z|^{2}$.

\item En déduire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan pour lesquels :
$OM_{1}=M_{1}M_{2}$.\newline On pourra montrer que : $|z+1|^{2}=2|z|^{2}$
équivaut à $|z-1|^{2}=2$.\newline Tracer $(\Gamma)$ sur la figure.

\item En déduire les deux points $M$ pour lesquels $OM_{1}M_{2}$ est un
triangle équilatéral et les placer sur la figure.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 10 points]Le but du problème est l'étude d'une fonction $f$ définie
sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$ et d'une primitive de $f$.\newline%
\index{Primitive}%
%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie I: Étude d'une fonction auxiliaire $g$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I: Étude d'une fonction auxiliaire $g$}%
%EndExpansion


Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$ par :
$g(x)=2x^{2}-(x^{2}+1)\ln(x^{2}+1)$.%
\index{Fonction!logarithme}%


\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$ et,
en détaillant les calculs effectués, montrer que
\index{Fonction!dérivable}
\[
g^{\prime}(x)=2x-2x\ln(x^{2}+1)
\]


\item Faire l'étude du sens de variation de $g$ sur l'intervalle $[0 ;
+\infty[$.

\item Montrer qu'il existe un unique réel, que l'on notera $\alpha$, dans
l'intervalle $[\sqrt{e-1},\sqrt{e^{2}-1}]$, tel que $g(\alpha)=0$ ; donner
l'approximation décimale à $10^{-2}$ près par défaut de $\alpha$.%
\index{Approximation!décimale}%


\item En déduire le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ;
+\infty[$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie II: Étude de la fonction $f$}%
%}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II: Étude de la fonction $f$}%
%EndExpansion


La fonction $f$ est définie sur [0 ;+$\infty$[ par :
\[
f(0)=0\text{ et }f(x)=\frac{\ln(1+x^{2})}{x}\text{ lorsque }x\neq0
\]
Montrer que $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=1$.\newline En déduire que $f$
est dérivable en 0 et donner la valeur de $f^{\prime}(0)$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour $x$ strictement positif,
\[
f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{2}(1+x^{2})}%
\]
\newline Faire l'étude du sens de variation de $f$ sur l'intervalle
$[0;+\infty\lbrack$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $x\geqslant1,\qquad0\leqslant f(x)\leqslant\frac
{\ln(2x^{2})}{x}$.

\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie III: Étude d'une primitive de $f$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III: Étude d'une primitive de $f$}%
%EndExpansion


On note F la primitive de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$, qui
s'annule pour $x=1$.%
\index{Primitive}%
\newline On rappelle que $\text{F}(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$ : (on ne cherchera
pas à calculer F($x$).

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $x>0$, \ $f(x)\geqslant\frac{2\ln(x)}{x}$.

\item Calculer $\int_{1}^{x}\frac{2\ln(t)}{t}dt$ pour $x\geqslant1$ et en
déduire la limite de F en $+\infty$.
\end{enumerate}

\item Dresser le tableau de variation de F.

\item Montrer que $f(1)<\text{F}(2)<f(\alpha)$ et en déduire un encadrement de
F(2). (On prendra $f(\alpha)\approx0,8$).

\item On note I le point de coordonnées (1 ; 0), A le point de ($\mathcal{C}$)
de coordonnées (1 ; $\ln2$) et B le point de coordonnées ($\ln2$ ; $\ln2$).

\begin{enumerate}
\item Vérifier que B appartient à la tangente à ($\mathcal{C}$) en O.%
\index{Tangente}%


\item Placer les points I, A et B sur une figure et tracer les segments [OA],
[OB], [BA] et [AI].

\item On admet que, pour les abscisses appartenant à l'intervalle [0 ; 1], la
courbe ($\mathcal{C}$) est située au-dessus de [OA] et au dessous de [OB] et
de [BA].\newline Déterminer un encadrement de F(0), d'amplitude inférieure à
$2.10^{-1}.$
\index{Encadrement}%

\end{enumerate}

\item Tracer la représentation graphique ($\Gamma$) de F en exploitant au
maximum les résultats précédents ; on précisera notamment la tangente à
($\Gamma$) au point d'abscisse 1 en la traçant et en donnant son coefficient
directeur. (Unité graphique : 2 cm).
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}