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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13121103480801--
%%--Pondichéry 1998--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Pondichéry 1998 S\'erie S}}\\[0pt]{\textbf{Enonc\'e}} }
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges et sept
boules noires.\newline On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on
considère que tous les tirages sont équiprobables.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité $p_{1}$ que les deux boules tirées soient rouges~?

\item Quelle est la probabilité $p_{2}$ que les deux boules tirées soient noires~?

\item Quelle est la probabilité $p_{3}$ que les deux boules tirées soient de
même couleur~?

\item Quelle est la probabilité $p_{4}$ que les deux boules tirées soient de
couleurs différentes~?
\end{enumerate}

\item On dispose aussi d'une deuxième urne U$_{2}$ contenant quatre boules
rouges et six boules noires.\newline On tire maintenant deux boules de l'urne
U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous les tirages sont
équiprobables.\newline On considère les événements suivants :\newline R~:
\textquotedblright~Les boules tirées sont rouges~\textquotedblright;\newline
D~: \textquotedblright\ Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même
couleur \textquotedblright\newline B~: \textquotedblright La boule tirée dans
l'urne U$_{2}$ est rouge \textquotedblright.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement R.

\item Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur~?

\item Calculer la probabilité conditionnelle $p_{D}$(B) de l'événement B
sachant que l'événement D est réalisé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]On considère le polynôme
\[
P(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260
\]
où $z$ est un nombre complexe.

\begin{enumerate}
\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que :
\[
\mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20)
\]


\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation P$(z)=0$.

\item Placer dans un repère orthonormal direct $\left(  O;\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v}\right)  $, les images M, N, P et Q des nombres
complexes respectifs%
\[
m=-2+4i,\;n=-2-4i,\;p=2+3i\text{ et }q=2-3i
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre complexe $z$ vérifiant
\[
\frac{z-p}{z-m}=i
\]
Placer son image K.

\item En déduire que le triangle MPK est isocèle rectangle en K.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déteminer par le calcul l'affixe du point L, quatrième sommet du carré MKPL.

\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection R de la droite (KL) et de
l'axe des abscisses.

\item Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R. \newline
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]On considère la fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ +\infty
\lbrack$ par
\[
f(x)=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}%
\]
\newline On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan
rapporté à un repère orthonormal $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)
$ ; unité graphique : 4 cm.\newline\textbf{Partie A}\newline\textbf{$\star$}
\textbf{Étude d'une fonction auxiliaire}\newline Soit la fonction $g$ définie
sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$ par%
\[
g(x)=x+2-e^{x}%
\]


\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$ et
déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule dans
$[0\ ;\ +\infty\lbrack$.\newline On note $\alpha$ cette solution.

\item Prouver que
\[
1,14<\alpha<1,15
\]

\end{enumerate}

\item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{\'Etude de la fonction $f$
et tracé de la courbe $\mathcal{C}$}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $[0\,;\,+\infty\lbrack$,
\[
f\,^{\prime}(x)=\frac{e^{x}g(x)}{(xe^{x}+1)^{2}}.
\]


\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+\infty
\lbrack$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel positif $x$,
\[
f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}%
\]


\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le
résultat trouvé.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Établir que
\[
f(\alpha)=\frac{1}{\alpha+1}%
\]


\item En utilisant l'encadrement de $\alpha$ établi dans la question
\textbf{A.2.}, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au
point d'abscisse 0.

\item
\begin{enumerate}
\item Établir que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,+\infty
\lbrack$,
\[
f(x)-x=\frac{(x+1)\,u(x)}{xe^{x}+1}\quad\mathrm{avec}\ u(x)=e^{x}-xe^{x}-1.
\]


\item Étudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle
$[0\,;\,+\infty\lbrack$. En déduire le signe de $u(x)$.

\item Déduire des questions précédentes la position de la courbe $\mathcal{C}
$ par rapport à la droite (T).
\end{enumerate}

\item Tracer $\mathcal{C}$ et (T).
\end{enumerate}

\textbf{Partie C} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{Calcul d'aire et étude
d'une suite}

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive F de $f$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$ ; on
pourra utiliser l'expression de $f(x)$ établie dans la question \textbf{B.2.}

\item On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$,
la tangente (T) et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.\newline Calculer,
en cm$^{2}$, l'aire A du domaine $\mathcal{D}$.\newline Donner une valeur
décimale au mm$^{2}$ près de l'aire A.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose
\[
v_{n}=\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$.\newline On donnera des valeurs
décimales approchées à 10$^{-2}$ près de $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$.

\item Interpréter graphiquement $v_{n}$.

\item Montrer que, pour tout $n\geqslant2,\quad$%
\[
f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx\leqslant f(n)
\]
\newline En déduire la monotonie de la suite $(v_{n})$ à partir de $n=1$.

\item Déterminer la limite de la suite $(v_{n})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}