\documentclass[a4paper]{article}%
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{xspace}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lastpage}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{afterpage}
\usepackage[french]{babel}%
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{amssymb}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 18:53:14}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
\geometry{a4paper,marginpar=2cm,lmargin=0cm,rmargin=2cm,marginparsep=0pt,includemp=true,reversemp=true,headsep=-0.2in}
\setlength{\theorempostskipamount}{2\baselineskip}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{\theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
}
\newcounter{Cack}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{acknowledgement}[Cack]{A savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{Méthode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccorr}[section]
\renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction de l'exercice}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypothèse}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Critère}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{Définition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{\theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}{\Roman{Cprob}.}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
{\theorembodyfont{\large\mdseries}\newcounter{Cprop}[section]\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
\newcounter{Crem}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1}\renewcommand{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline}{#1}}
\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}[1][-]{\stepcounter{exo}\par\vspace{2ex}\noindent{\bf Exercice \theexo\space}\points{#1}\\[1ex]\noindent}
\newcommand{\GN}{\ensuremath{\mathbb{N}}\xspace}
\newcommand{\GR}{\ensuremath{\mathbb{R}}\xspace}
\newcommand{\GC}{\ensuremath{\mathbb{C}}\xspace}
\newcommand{\GZ}{\ensuremath{\mathbb{Z}}\xspace}
\newcommand{\GQ}{\ensuremath{\mathbb{Q}}\xspace}
\newcommand{\GD}{\ensuremath{\mathbb{D}}\xspace}
\newcommand{\ssi}{\ensuremath{\Longleftrightarrow}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow{#1\;}}
\newcommand{\oij}{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}
\newcommand{\oijk}{\left(O;\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k}\right)}
\newcommand{\ouv}{\left(O;\vecteur{u},\vecteur{v}\right)}
\newcommand{\congru}[3]{#1\equiv#2\quad\text{modulo }#3}
\newcommand{\segN}[2]{\left\{ #1\ldots #2\right\}}
\newcommand{\anglevec}[2]{\left(\vecteur{#1};\vecteur{#2}\right)}
\newcommand{\PGCD}{\mathit{PGCD}}
\newcommand{\aire}[1]{$\mathcal{A}ire(#1)$}
\newcommand{\Mod}{\quad\mathit{Mod}}
\newcommand{\Intoo}[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand{\Intfo}[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand{\Intof}[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand{\Intff}[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newenvironment{listerd}
{   \renewcommand{\labelitemi}{\textasteriskcentered}
\renewcommand{\labelitemii}{\textperiodcentered}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\newcommand{\cro}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
}
\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}
}
\everymath{\displaystyle}
\def \points#1%
{\if -#1 \xspace \else {\small ( #1 points )}\xspace\fi }
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 131202006433512--
%%--Guadeloupe 1998--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Guadeloupe 1998 Série S}}\\[0pt]{\textbf{Enoncé}} }
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs :
\emph{violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge}. Un domino se compose
de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut
figurer deux fois sur le même domino : c'est un double.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos,
indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.

\item On tire simultanément trois dominos du sac. \newline Quelle est la
probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?

\item Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabili\-té
des événements suivants :

\begin{enumerate}
\item J$_{2}$ : " Lejaune figure deux fois "

\item J$_{1}$ : " Le jaune figure une seule fois "

\item J : " Le jaune figure au moins une fois "
\end{enumerate}

\item On effectue $n$ tirages successifs d'un domino, en notant à chaque
tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le
domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont
indépen\-dants.\newline Calculer, en fonction de $n$, la probabilité p$_{n}$,
que J soit réalisé au moins une fois. \newline Calculer la plus petite valeur
de l'entier naturel $n$ pour laquelle p$_{n}\geqslant0,99.\medskip$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par :
\[
P\left(  z\right)  =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $P\left(  i\right)  $ et $P\left(  -i\right)  .$

\item Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré, que l'on
déterminera, tel que :
\[
\text{Pour tout }z\in\mathbb{C},\text{ }P\left(  z\right)  =\left(
z^{2}+1\right)  Q\left(  z\right)
\]

\end{enumerate}

\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P\left(
z\right)  =0.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


Le plan est rapporté au repère orthonormal direct $\left(  O;\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v}\right)  $ (unité graphique $2$ cm).

\begin{enumerate}
\item Placer dans ce repère les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixes
respectives $z_{A}=i$, $z_{B}=-i,$ $z_{C}=-\sqrt{3}$ et $z_{D}=-\sqrt{3}%
-2i$.\newline Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de
diamètre $\left[  CD\right]  .$

\item Montrer qu'il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $C$ en
$D.$ Calculer une valeur entière approchée à un degré près d'une mesure de
l'angle de cette rotation.

\item Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le
rapport :
\[
\frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}%
\]
Interpréter géométriquement le module et l'argument de ce rapport. \medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A: Etude de fonctions}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A: Etude de fonctions}%
%EndExpansion


On considère les fonctions $f_{1},$ $f_{2},$ $f_{3}$ définies sur $\mathbb{R}
$ par :
\[
f_{1}\left(  x\right)  =\left(  x+1\right)  e^{-x}\quad f_{2}\left(  x\right)
=-xe^{-x}\quad f_{3}\left(  x\right)  =\left(  x-1\right)  e^{-x}%
\]
On appelle $C_{1},$ $C_{2},$ $C_{3}$ leurs courbes représentatives respectives
dans un repère orthogonal $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $ du
plan. Les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ sont données sur le graphique ci-dessous.%
\[%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3.3823in}{2.1204in}{0cm}{}{}{a3-f1.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.3823in;  height 2.1204in;  depth 0cm;  original-width 3.2021in;
%original-height 1.9967in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/a3-f1.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0cm}{\includegraphics[
height=2.1204in,
width=3.3823in
]%
{Include/i3fawq0h.eps}%
}%
%EndExpansion
\]


\begin{enumerate}
\item Etude de la fonction $f_{1}.$

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f_{1}^{\prime}$ de $f_{1}$ et étudier son signe. En
déduire les variations de $f_{1}.$

\item Déterminer les limites de $f_{1}$ en $+\infty,$ en $-\infty.$

\item Dresser le tableau de variation de $f_{1}.$
\end{enumerate}

\item Etude graphique.

\begin{enumerate}
\item Identifier sur la figure donnée les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ et placer
sur le dessin le repère $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  .$

\item Etudier la position relative des courbes $C_{1}$ et $C_{3}.$

\item Tracer $C_{1}$ dans le même repère que $C_{2}$ et $C_{3}$ sur la figure fournie.
\end{enumerate}

\item Etude d'équations différentielles.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f_{1}$ est solution de l'équation différentielle :
\[
\left(  E_{1}\right)  \quad y^{\prime}+y=e^{-x}%
\]


\item Montrer que $f_{1}$ est aussi solution de l'équation différentielle :
\[
\left(  E_{2}\right)  \quad y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0
\]


\item Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\left(
E_{2}\right)  .$ En déduire que $f_{2}$ et $f_{3}$ sont aussi des solutions de
$\left(  E_{2}\right)  .$

\item Parmi les solutions de $\left(  E_{2}\right)  ,$ quelles sont celles qui
sont aussi solutions de $\left(  E_{1}\right)  $ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie B : Etude d'aires liées à $C_1$ et $C_2$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B : Etude d'aires liées à $C_1$ et $C_2$}%
%EndExpansion


Pour $n$ entier strictement positif, on appelle $M_{n}$ le point de $C_{3}$
d'abscisse $n\ln2.$ On pose :
\[
f\left(  x\right)  =f_{1}\left(  x\right)  -f_{3}\left(  x\right)
\]
pour tout $x$ réel.

\begin{enumerate}
\item Calculer, en unités d'aire, l'aire $U_{n}$ du domaine plan limité par la
courbe $C_{3},$ la courbe $C_{1}$ et les segments $\left[  M_{n},P_{n}\right]
$ et $\left[  M_{n+1}P_{n+1}\right]  $ pour $n>0.$ $P_{n}$ et $P_{n+1}$ sont
les projections orthogonales respectives de $M_{n}$ et $M_{n+1}$ sur $\left(
O;\vec{\imath}\right)  .$

\item Calculer, en unités d'aire, l'aire $V_{n}$ du trapèze $P_{n}M_{n}%
M_{n+1}P_{n+1}$ pour $n>0.$ Montrer que le rapport $\frac{V_{n}}{U_{n}}$ est constant.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}