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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13120055813457--
%%--Centres étrangers 1998--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Centres \'etrangers 1998 S\'erie S}}\\[0pt]{\textbf{Enonc\'e}%
} }
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges
indiscernables au toucher. On effectue $n$ tirages successifs ($n$ entier
supérieur ou égal à 1) d'une boule en respectant la règle suivante : si la
boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est blanche, on ne la
remet pas.\newline Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont
indépendantes.\newline\textbf{Partie A}\newline Dans cette partie $n=3$. On
donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.\newline Si $k$
est un entier compris entre 1 et 3, on note $E_{k}$ l'événement \newline%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
seule la $k$ ième boule tirée est blanche%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'événement $E_{1}$ est
\[
{p(E_{1})=\frac{5}{36}}%
\]


\item Calculer les probabilités des événements $E_{2}$ et $E_{3}$.\newline En
déduire la probabilité qu'on ait tiré une seule boule blanche à l'issue des 3 tirages.

\item Sachant que l'on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la
probabilité que cette boule blanche ait été tirée en dernier ?
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\newline On effectue maintenant $n$ tirages.

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en fonction de n, la probabilité $p_{n}$ de tirer au moins
une boule blanche en $n$ tirages.

\item Quelles valeurs faut-il donner à $n$ pour que : $p_{n}>0,99$ ?\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct
$(O,\overrightarrow{u\;},\overrightarrow{v\;})$.\newline L'unité graphique est
de 3 cm.\newline On considère les points $B,C,D,E$ définissant le carré de
sens direct $BCDE$ d'affixes respectives :
\[
b=1-i\qquad c=-1-i\qquad d=-1-3i\qquad e=1-3i
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
b%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
,
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
c%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
,
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
d%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
,
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
e%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
.

\item Soit $\Gamma$ le cercle de centre $O$ passant par $B$. \newline
Déterminer une équation du cercle $\Gamma$.\newline On considère $Q$ un point
de $\Gamma$ distinct de $B$ et de $C$.\newline L'affixe de $Q$ est notée
$q=x+iy$ ( avec $x$ et $y$ réels ).

\item Soient $F$ et $G$ les points du plan tels que $QBFG$ soit un carré de
sens direct, c'est à dire tels que : $\left(  \overrightarrow{QB\;}%
,\overrightarrow{QG\;}\right)  =\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$.\newline On pose%
\[
{Z=\frac{g-q}{b-q}}%
\]
où $g$ est l'affixe du point $G$.\newline Interpréter géométriquement le
module et un argument de $Z$. En déduire $Z$.

\item Prouver que :
\[
g=(1+x+y)+i(1-x+y)
\]
En déduire $|g|$ en fonction de $x$ et de $y$.

\item En utilisant la question 2. exprimer $|g|$ en fonction de y.

\item A l'aide de considérations géométriques, prouver que : $|f|=|g|$, $f$
étant l'affixe du point $F$.

\item Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ les points $E$, $D$, $G$, et $F$
sont-ils sur un cercle de centre $O$ ?\newline Préciser le rayon de ce cercle.
En déduire alors la nature du triangle $QBC$.\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]Le but du problème est l'étude d'une fonction $g_{k}$ où
$k$ est un réel fixé qui vérifie : $0<k<e$.\newline Dans la partie \textbf{A}
on met en évidence certaines propriétés d'une fonction $f$ qui seront
utilisées dans la partie \textbf{B}.\newline\textbf{Partie A}\newline Soit $f$
la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=(2-x)e^{x}-k
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Calculer $f^{\prime}(x)$. En déduire le tableau de variation de $f $.
Calculer $f(1)$.

\item
\begin{enumerate}
\item \'Etablir que l'équation $f(x)=0$ a deux solutions, une notée
$\alpha_{k}$ appartenant à l'intervalle $]-\infty, 1[$ et l'autre notée
$\beta_{k}$ appartenant à l'intervalle $]1 , +\infty[$.

\item Montrer que :
\[
{e^{\alpha_{k}}-k\alpha_{k}=(e^{\alpha_{k}}-k)(\alpha_{k}-1)}\newline%
\]
On démontrerait de même que $\beta_{k}$ vérifie l'égalité :
\[
{e^{\beta_{k}}-k\beta_{k}=(e^{\beta_{k}}-k)(\beta_{k}-1)}%
\]

\end{enumerate}

\item Préciser le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\newline

\begin{enumerate}
\item Soit u la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$
par : $u(x)=e^{x}-kx$.

\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variation de $u$.

\item On rappelle que $0<k<e$. Justifier la propriété suivante :\newline\centerline{pour tout réel $x$, $e^{x}-kx>0$.}
\end{enumerate}

\item Soit $g_{k}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
{g_{k}(x)=\frac{e^{x}-k}{e^{x}-kx}}%
\]
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $g_{k}$ dans
le plan rapporté à un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g_{k}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Prouver que :%
\[
{g_{k}^{\prime}(x)=\frac{k\;f(x)}{(e^{x}-kx)^{2}}}%
\]


\item En déduire le tableau de variation de $g_{k}$. Calculer $g_{k}(1)$.
\end{enumerate}

\item On nomme $M_{k}$ et $N_{k}$ les points de la courbe $\mathcal{C}_{k}$
d'abscisses respectives $\alpha_{k}$ et $\beta_{k}$.

\begin{enumerate}
\item En utilisant la question \textbf{3}.b)(\textbf{Partie A}), montrer que
:
\[
{g_{k}(\alpha_{k})=\frac{1}{\alpha_{k}-1}}%
\]


\item Donner de même $g_{k}(\beta_{k})$.

\item Déduire de la question précédente que lorsque $k$ varie les points
$M_{k}$ et $N_{k}$ sont sur une courbe fixe $\mathcal{H}$ dont on donnera une équation.
\end{enumerate}

\item \textbf{Représentations graphiques pour des valeurs particulières de k}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et
$\mathcal{C}_{2}$.

\item Prouver que $\alpha_{2}=0$.

\item En prenant comme unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe
des ordonnées, construire les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$ et
$\mathcal{H}$ sur un même graphique.\newline On prendra $\alpha_{1}=-1,1$ ;
$\beta_{1}=1,8$ ; $\beta_{2}=1,6$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}