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{\if -#1 \xspace \else {\small ( #1 points )}\xspace\fi }
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13119971756396--
%%--Remplacement 1998--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Remplacement 1998 S\'erie S}}\\[0pt]{\textbf{Enonc\'e}} }
\end{center}

\begin{exercise}
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{i},\,\vec
{j},\,\vec{k})$.\newline Il n'est pas demandé de faire de figure.\newline Les
questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2.\newline On considère
les quatre points $A,\ B,\ C$ et $I$ de coordonnées respectives :
\[
A\left(
\begin{array}
[c]{c}%
-1\\
2\\
1
\end{array}
\right)  \qquad\quad B\left(
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
-6\\
-1
\end{array}
\right)  \qquad\quad C\left(
\begin{array}
[c]{c}%
2\\
2\\
2
\end{array}
\right)  \qquad\quad I\left(
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
-1
\end{array}
\right)
\]


\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Calculer le produit vectoriel $\overrightarrow{\strut
AB}\wedge\overrightarrow{\strut AC}$.
\index{Produit!vectoriel}%


\item[\textbf{b.}] Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les
trois points $A,\ B$ et $C$.
\end{enumerate}

\item[\textbf{2.}] Soit $Q$ le plan d'équation :
\index{Equation!de plan}
\[
x+y-3z+2=0
\]
et $Q^{\prime}$ le plan de repère $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{k})$.

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Pourquoi $Q$ et $Q^{\prime}$ sont-ils sécants~?

\item[\textbf{b.}] Donner un point $E$ et un vecteur directeur
$\overrightarrow{\strut u}$ de la droite d'intersection $\Delta$ des plans $Q
$ et $Q^{\prime}$.
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre
$I$ et de rayon 2.
\index{Sphère}%


\item[\textbf{4.}] On considère les points $J$ et $K$ de coordonnées
respectives :
\[
J\left(
\begin{array}
[c]{c}%
-2\\
0\\
0
\end{array}
\right)  \qquad\quad K\left(
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
0\\
1
\end{array}
\right)
\]
Déterminer avec soin l'intersection de la sphère S et de la droite
$(JK)$.\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item On considère le polynôme $P$ défini par : $P(z)=z^{3}-6z^{2}+12z-16$.
\index{Polynôme!complexe}%


\begin{enumerate}
\item Calculer $P(4)$.

\item Résoudre dans $C$ l'équation : $P(z)=0$.
\end{enumerate}

\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v})$ tel que : $\Vert\overrightarrow{u}\Vert
=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=2\;cm$.\newline Soient $A$, $B$, $C$ les points
d'affixes respectives :
\index{Affixe}
\[
a=4\qquad b=1+i\sqrt{3}\qquad c=1-i\sqrt{3}%
\]


\begin{enumerate}
\item Placer les points $A,B,C$ sur une figure que l'on complétera tout au
long de l'exercice.

\item Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.
\index{Triangle!équilatéral}%

\end{enumerate}

\item Soit $K$ le point d'affixe $k=-\sqrt{3}+i$\newline

On appelle $F$ l'image de $K$ par la rotation de centre $O$ et d'angle de
mesure $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ et $G$ l'image de $K$ par la translation
de vecteur $\overrightarrow{OB}$.
\index{Rotation}%


\begin{enumerate}
\item Quelles sont les affixes respectives de $F$ et de $G$ ?

\item Montrer que les droites $(OC)$ et $(OF)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\item Soit $H$ le quatrième sommet du parallélogramme $COFH$

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère $COFH$ est un carré.
\index{Carré}%


\item Calculer l'affixe du point $H$.

\item Le triangle $AGH$ est-il équilatéral ?\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]$\vspace*{-0.35cm}$%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle :
\index{Equation!différentielle}
\[
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0
\]


\item Déterminer la solution $\varphi$ de cette équation, définie sur
$\mathbb{R}$ et qui vérifie les conditions :
\[
\varphi(0)=0\quad\text{et}\quad\varphi^{\prime}(0)=-e
\]

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\index{Fonction!exponentielle}
\[
f(x)=-xe^{2x+1}.
\]


\begin{enumerate}
\item Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ ?

\item Etudier le sens de variation de de $f$.

\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

\item Dresser le tableau de variation de $f$.

\item On appelle ($\mathcal{C}$) la représentation graphique de $f$ dans un
repère orthonormé \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ (unité
graphique : 4 cm).\newline Quelle est la tangente à ($\mathcal{C}$) au point O
?\newline%
\index{Tangente}%
Ecrire une équation de la tangente T à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse (-1).

\item On appelle ($\Gamma$) la représentation graphique dans le repère
\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ de la fonction $g$ définie
sur $\mathbb{R}$ par :
\[
g(x)=e^{x}.
\]
Quelle est la tangente à ($\Gamma$) au point d'abscisse (-1) ?
\end{enumerate}

\item On appelle $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
h(x)=1+exe^{x}.
\]


\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $h$.\newline En déduire le signe de
$h(x)$ suivant les valeurs de $x$.

\item Etudier la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à ($\Gamma$).

\item Tracer, sur le même graphique, les courbes T, ($\mathcal{C}$) et
($\Gamma$).
\end{enumerate}

\item $m$ désigne un réel quelconque et M désigne le point de la courbe
($\Gamma$) d'abscisse $m$.

\begin{enumerate}
\item Ecrire une équation de la tangente D à ($\Gamma$) en M.

\item La tangente D coupe les axes de coordonnées en A et B.\newline Calculer,
en fonction de $m$, les coordonnées du milieu J du segment [AB].

\item Prouver que J appartient à ($\mathcal{C}$).

\item Tracer D et J pour $m=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel quelconque.\newline A l'aide d'une intégration par
partie, calculer l'intégrale :
\index{Intégration!par parties}
\[
\text{I}(x)=\int_{0}^{x}{te^{2t}}dt.
\]


\item Soit $x$ un réel négatif.\newline%
\index{Calcul!d'aire}%
Calculer l'aire $\mathcal{A}(x)$, exprimée en $\text{cm}^{2}$, de l'ensemble
des points N du plan dont les coordonnées ($u,v $) vérifient :
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\leqslant u\leqslant0\\
0\leqslant v\leqslant f(x)
\end{array}
\right.
\]


\item Calculer $\mathcal{A}(-1)$.

\item $\mathcal{A}(x)$ admet-elle une limite quand $x$ tend vers moins
l'infini ? Si oui laquelle ?
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}