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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13119864855024--
%%--National 1998--
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\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Sujet National 1998 Série S}}\\[0pt]{\textbf{Enoncé}} }
\end{center}

\begin{exercise}
[5 points. \textbf{Commun à tous les candidats}]Dans tout l'exercice, A et B
étant deux événements, P(A) désigne la probabilité de A ; \textit{p}(B/A) la
probabilité de B sachant que A est réalisé.

\begin{enumerate}
\item Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une
station-service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de
probabilité :

$p_{i}=\text{P(X}=i\text{)}$\newline%
\begin{tabular}
[c]{|c|ccc|}\hline
$i$ & 0 & 1 & 2\\\hline
$p_{i}$ & 0,1 & 0,5 & 0,4\\\hline
\end{tabular}


\begin{enumerate}
\item Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

\item Calculer l'espérance mathématique de X.
\end{enumerate}

\item Dans cette station-service, la probabilité qu'un client achète de
l'essence est 0,7 ; celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est
indépendant de celui des autres clients. On considère les événements suivants
:\newline$\text{C}_{1}$ : '' en cinq minutes, un seul client se présente
''\ ;\newline$\text{C}_{2}$ : ''\ en cinq minutes, deux clients se présentent
''\ ;\newline E\ \ : ''\ en cinq minutes, un seul client achète de l'essence ''\ ;

\begin{enumerate}
\item Calculer P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$).

\item Montrer que $\text{P(E}/\text{C}_{2})=0,42$ et calculer P($\text{C}%
_{2}\cap\text{E}$).

\item En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence.
\end{enumerate}

\item Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de
l'essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y.\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points. \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}%
]Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} .\newline

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (1) :
\index{Equation!complexe}
\[
\frac{z-2}{z-1}=z
\]
On donnera le module et un argument de chaque solution.

\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (2) :
\[
\frac{z-2}{z-1}=i
\]
On donnera la solution sous forme algébrique.

\item Soit M, A et B les points d'affixes respectives : $z$, 1 et 2.\newline
On suppose que M est distinct des points A et B.
\index{Module}
\index{Argument}%


\begin{enumerate}
\item Interpréter géométriquement le module et un argument de
${\displaystyle\frac{z-2}{z-1}}$.

\item Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
\index{Interprétation!géométrique}%

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution
de l'équation dans~$\mathbb{C}$~:
\[
\left(  \frac{z-2}{z-1}\right)  ^{n}=i
\]
où $n$ désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle
${\displaystyle\frac{3}{2}}$.

\item Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation (3) :
\[
\left(  \frac{z-2}{z-1}\right)  ^{2}=i
\]
On cherchera les solutions sous forme algébrique.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 10 points]Les tracés de courbes seront faits dans un plan rapporté
à un repère orthonormal \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}
\ (unité : 2 cm).

On rappelle qu'une fonction $f$ est majorée par une fonction $g$ (ce qui
signifie aussi que $g$ est minorée par $f$) sur un intervalle I si et
seulement si, pour tout $x$ appartenant à I, $f(x)\leqslant g(x)$.\newline%
\index{Fonction!majorée}%


\textbf{Partie A}

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par
${\displaystyle f(x)=\ln(1+x)}$ et ${\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x+2}}$ ; on
notera C la représentation graphique de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$.

On se propose de démontrer que $f$ est minorée par $g$ sur $[0;+\infty\lbrack
$.
\index{Fonction!minorée}%


Soit $h$ la fonction définie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par
$h(x)=f(x)-g(x)$.

\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $h$ sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ ;
calculer $h(0)$. (L'étude de la limite de $h$ en $+\infty$ n'est pas demandée.)

\item En déduire que pour tout réel $x$ positif ou nul,

{(1)\hspace{2 cm} ${\displaystyle\frac{2x}{x+2}\leqslant\ln(1+x)}$}

\item Construire dans le même repère les courbes C et $\Gamma$ et montrer
qu'elles admettent en O une même tangente D que l'on tracera.
\index{Tangente}%
(On justifiera rapidement le tracé de ces courbes).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

$k$ désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes
les fonctions linéaires $x\mapsto kx$, majorant la fonction : $f:x\mapsto
\ln(1+x)$ sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$.

Soit $f_{k}$ la fonction définie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par
$f_{k}(x)=\ln(1+x)-kx$.

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f_{1}$ définie sur $\lbrack
0;+\infty\lbrack$ par :
\[
f_{1}(x)=\ln(1+x)-x
\]


\item Étudier la limite de $f_{1}$ en $+\infty$ et donner la valeur de $f_{1}
$ en $0$.

\item Montrer que pour tout réel $x$ positif ou nul :

{(2)\hspace{2 cm} ${\displaystyle\ln(1+x)\leqslant x}$}.

\item En déduire que si $k\geqslant1$, alors : pour tout $x\geqslant0,
f(x)\leqslant kx$

\item Le réel $k$ vérifie les conditions : $0<k<1$.\newline Montrer que la
dérivée de $f_{k}$ s'annule pour ${\displaystyle x=\frac{1-k}{k}}$ et étudier
le sens de variation de $f_{k}$. (L'étude de la limite de $f_{k}$ en $+\infty$
n'est pas demandée.)

\item En déduire les valeurs de $k$ strictement positives telles que pour tout
$x\geqslant0,$%
\[
f(x)\leqslant kx
\]
\medskip
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item A l'aide d'une intégration par parties, calculer :
\[
\text{I}=\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx.
\]
On remarquera éventuellement que :
\[
{\frac{x}{x+2}=1-\frac{1}{1+x}}%
\]
\newline En déduire le calcul de
\[
{\text{J}=\int_{0}^{1}\left(  x-\ln(1+x)\right)  dx}%
\]
\ puis de \
\[
{\text{K}=\int_{0}^{1}\left(  \ln(1+x)-\frac{2x}{x+2}\right)  dx}%
\]
\newline Pour le calcul de K on pourra vérifier que
\[
{\frac{2x}{x+2}=2-\frac{4}{2+x}}%
\]
\newline Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en
utilisant les courbes C, $\Gamma$ et la droite D obtenues dans la partie A.

\item Soit $u$ la fonction définie sur $\lbrack0;1\rbrack$ de la façon
suivante :
\[
u(0)=1 \text{\quad et si\ } x\neq0,\quad u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.
\]


\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $u$ est continue sur $\lbrack0;1\rbrack$.

\item On pose :
\[
\text{L}=\int_{0}^{1}u(x)dx.
\]
En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties A et B,
montrer que :
\[
\int_{0}^{1}\frac{2}{x+2}dx\leqslant L\leqslant1.
\]
En déduire une valeur approchée de L à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}