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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13119579359197--
%%--Amérique du Nord 1998--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Am\'erique du Nord 1998 S\'erie S}}\\[0pt]{\textbf{Enonc\'e}}
}
\end{center}

\begin{exercise}
[ 5 points]Afin de créer une loterie, on met dans une urne $n$ billets
différents ($n$ supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billets
dans l'urne.

\begin{enumerate}
\item On suppose ici $n=10$. $X$ désigne la variable aléatoire qui donne le
nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. \newline Déterminer la loi
de probabilité de $X$.

\item On revient au cas général avec $n$ supérieur ou égal à 3.\newline
Calculer la probabilité, notée $p_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant
parmi les deux choisis.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne
en remettant le premier billet tiré avant de tirer le second.

\begin{enumerate}
\item On suppose ici $n=10$. $Y$ désigne la variable aléatoire qui donne le
nombre de billets gagnants parmi les deux billets choisis. \newline Déterminer
la loi de probabilité de $Y$.

\item On revient au cas général avec $n$ supérieur ou égal à 3.\newline
Calculer la probabilité, notée $q_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant
parmi les deux choisis.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 3, on a :
\[
p_{n}-q_{n}=\frac{4(n-2)}{n^{2}(n-1)}.
\]


\item En remarquant que pour tout entier $n$, $n-2$ est inférieur à $n-1$,
déterminer un entier naturel $n_{0}$ tel que pour tout $n$ supérieur ou égal à
$n_{0}$, on ait
\[
{p_{n}-q_{n}<10^{-3}}%
\]


\item Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de
cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer
l'un après l'autre en remettant le premier billet tiré ?\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[ 5 points]Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
$\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$, (unité graphique : 4 cm), on donne
les points A et B d'affixes respectives 1 et ${\displaystyle\frac{1}{2}%
-i\frac{\sqrt{3}}{2}}$.\newline Pour chaque point M du plan, d'affixe $z$,
$\text{M}_{1}$ d'affixe $z_{1}$ désigne l'image de M par la rotation de centre
O et d'angle ${\displaystyle\frac{\pi}{3}}$, puis M' d'affixe $z^{\prime}$
l'image de $\text{M}_{1}$ par la translation de vecteur $-\overrightarrow
{\strut u}$. \newline Enfin, on note $T$ la transformation qui à chaque point
M associe le point M'.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer :
\[
{z^{\prime}=e^{i\frac{\pi}{3}}z-1}%
\]


\item Déterminer l'image du point B.

\item Montrer que $T$ admet un unique point invariant dont on précisera l'affixe.
\end{enumerate}

\item On pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.

\begin{enumerate}
\item Pour $z$ non nul, calculer la partie réelle du quotient
${\displaystyle \frac{z^{\prime}}{z}}$ en fonction de $x$ et de $y$.

\item Démontrer que l'ensemble ($E$), des points M du plan tels que le
triangle OMM' soit rectangle en O, est un cercle ($C$), dont on précisera le
centre et le rayon, privé de deux points.\newline Tracer ($E$).
\end{enumerate}

\item Dans cette question on pose $z=1+i$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que M appartient à ($E$). Placer M et M' sur la figure.

\item Calculer le module de $z^{\prime}$.

\item Calculer l'aire, en $\text{cm}^{2}$, du triangle OMM'.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 10 points]On désigne par $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et on
considère les fonctions, notées $f_{n}$, qui sont définies pour $x$
appartenant à l'intervalle $]0,+\infty\lbrack$ par :
\[
f_{n}(x)=\frac{1+n\ln(x)}{x^{2}}%
\]


\textbf{PARTIE A }

\textbf{I : Etude des fonctions $f_{n}$}

\begin{enumerate}
\item Calculer $f^{\prime}_{n}(x)$ et montrer que l'on peut écrire le résultat
sous la forme d'un quotient dont le numérateur et $n-2-2n \ln(x)$.

\item Résoudre l'équation $f^{\prime}_{n}(x)=0$. Etudier le signe de
$f^{\prime}_{n}(x)$

\item Déterminer la limite de $f_{n}$ en $+\infty$

\item Etablir le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ et calculer sa
valeur maximale en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\textbf{II : Représentation graphique de quelques fonctions $f_{n}$}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ (
unité graphique : 5 cm ). On note $(C_{n})$ la courbe représentative de la
fonction $f_{n}$ dans ce repère.

\begin{enumerate}
\item Tracer $\left(  C_{2}\right)  $ et $\left(  C_{3}\right)  .$

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $f_{n+1}\left(  x\right)  -f_{n}\left(  x\right)  .$ Cette
différence est-elle dépendante de l'entier $n$ ?

\item Expliquer comment il est possible de construire point par point la
courbe $\left(  C_{n}\right)  $ à partir de $\left(  C_{2}\right)  $ et
$\left(  C_{3}\right)  .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B }

\textbf{Calculs d'aires}

\begin{enumerate}
\item Calculer, en intégrant par parties, l'intégrale :
\[
I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx
\]


\item En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine plan limité par les
courbes $\left(  C_{n}\right)  $ et $\left(  C_{n+1}\right)  $ et les droites
d'équations $x=1$ et $x=e.$

\item On note $A_{n}$ l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la
courbe $\left(  C_{n}\right)  $ et les droites d'équations $y=0,$ $x=1$ et
$x=e.$

\begin{enumerate}
\item Calculer $A_{2}.$

\item Déterminer la nature de la suite $\left(  A_{n}\right)  $ en précisant
l'interprétation graphique de sa raison.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C }

\textbf{Etude sur l'intervalle }$\left]  1;+\infty\right[  $\textbf{\ de
l'équation }$f_{n}\left(  x\right)  =1$\textbf{.}

Dans toute la suite, on prendra $n\geqslant3.$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $n,$%
\[
e^{\frac{n-2}{2n}}>1\text{ et }f_{n}\left(  e^{\frac{n-2}{2n}}\right)  >1
\]


\item Vérifier que l'équation $f_{n}\left(  x\right)  =1$ n'a pas de solution
sur l'intervalle $\left]  1;e^{\frac{n-2}{2n}}\right[  .$
\end{enumerate}

\item Montrer que l'équation $f_{n}\left(  x\right)  =1$ admet sur
l'intervalle $\left[  e^{\frac{n-2}{2n}};+\infty\right[  $ exactement une
solution notée $\alpha_{n}.$

\item On se propose de déterminer la limite de la suite $\left(  \alpha
_{n}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item Calculer $f_{n}\left(  \sqrt{n}\right)  $ et montrer que, pour $n>e^{2},
$ on a $f_{n}\left(  \sqrt{n}\right)  \geqslant1.$

\item En déduire que, pour $n\geqslant8,$ on a $\alpha_{n}\geqslant\sqrt{n}$
et donner la limite de la suite $\left(  \alpha_{n}\right)  .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}