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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 12958085642125--
%%--Evolution d'une population animale--
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Copyright (c) 2004, Philippe Ivaldi. Le contenu de ce document peut être
redistribué sous les conditions énoncées dans la Licence pour Documents Libres
version 1.1 ou utlérieure.\newline

\begin{exercise}
L'évolution d'une population animale d'une année à l'année suivante a, dans
certains cas, été modélisée par des écologistes de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item soit $x$ la population, en milliers d'individus, d'une année donnée;

\item la population $x^{\prime}$ l'année suivante, toujours en milliers
d'individus, est :
\[
x^{\prime}=f(x)=\lambda x(1-x)
\]

\end{itemize}

On se propose d'étudier une telle évolution dans le cas particulier où :
$x^{\prime}=f(x)=1,6x(1-x)$ et $x\in\lbrack0,1]$.

Sur le graphique, figure \ref{1109001651} page \pageref{1109001651}, on a
représenté la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que
la droite $D$ d'équation $y=x$.%

%TCIMACRO{\TeXButton{partie}{\subsection*{partie A: \textbf
%{Exemples d'évolution de la population d'une année à l'année suivante}}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{partie A: \textbf
{Exemples d'évolution de la population d'une année à l'année suivante}}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item La population, une année donnée, est égale à $0,7$. Soit $p$ la
population de l'année suivante.

\begin{enumerate}
\item Vrai ou faux?

\begin{enumerate}
\item $p$ est un antécédent de $0,7$ par $f$

\item $p$ est la solution de l'équation $f(x)=x$

\item $p=f(0,7)$

\item $p$ est une solution de l'équation $f(x)=0,7$

\item $p$ est l'image de $0,7$ par $f$
\end{enumerate}

\item Déterminer $p$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une calculatrice.
\end{enumerate}

\item La population, une année donnée, est égale à $q$ (non nul) et s'éteint
l'année suivante.

\begin{enumerate}
\item Vrai ou faux?

\begin{enumerate}
\item $q$ est un antécédent de $0$ par $f$

\item $q$ est la solution de l'équation $f(x)=x$

\item $q=f(0)$

\item $q$ est une solution de l'équation $f(x)=0$

\item $q$ est l'image de $0$ par $f$
\end{enumerate}

\item Déterminer $q$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une calculatrice.

\item Pourquoi la population s'est-elle éteinte ?
\end{enumerate}

\item La population, une année donnée, est égale à $r$ (non nul) et reste la
même l'année suivante.

\begin{enumerate}
\item Vrai ou faux?

\begin{enumerate}
\item $r$ est un antécédent de $0$ par $f$

\item $r$ est la solution de l'équation $f(x)=x$

\item $r=f(0)$

\item $r$ est une solution de l'équation $f(x)=0$

\item $r$ est l'image de $0$ par $f$
\end{enumerate}

\item Déterminer $r$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une calculatrice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{partie}{\subsection*{Partie B: \textbf
%{Etude de l'évolution d'une population sur plusieurs années}}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B: \textbf
{Etude de l'évolution d'une population sur plusieurs années}}%
%EndExpansion


En 1990, la population animale considérée compte 0,9 milliers d'individus.

On pose $a=0,9$, $b=f(a)$, $c=f(b)$, $d=f(c)$, $e=f(d)$, $g=f(e)$, $h=f(g)$ et
$i=f(h)$,

\begin{enumerate}
\item Que représentent les nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $g$, $h$ et $i$
par rapport à la population considérée ?

\item \textbf{Etude graphique}

\begin{enumerate}
\item En s'aidant de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ et de la
droite $D$, placer successivement $a$ sur l'axe des abscisses, puis $b$ sur
l'axe des ordonnées, puis $b$ sur l'axe des abscisses, puis $c$ sur l'axe des
ordonnées, etc ...

\item Déterminer graphiquement l'évolution à long terme de la population considérée.
\end{enumerate}

\item \textbf{Etude algébrique}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée de chacun
de ces 7 nombres à 0,01 près.

\item Grâce à ces valeurs numériques, vérifier et éventuellement corriger les
constructions graphiques.

\item Comment évolue à long terme la population considérée ?
\end{enumerate}

\item \textbf{Comparaison des méthodes}

Quels avantages peut-on trouver à chacune des méthodes algébrique et graphique
pour l'étude de l'évolution de cette population:

\begin{enumerate}
\item du point de vue de la précision des résultats ?

\item du point de vue de la compréhension des phénomènes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\FRAME{fphF}{5.3931in}{5.3051in}{0pt}{}{\Qlb{1109001651}}%
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\begin{figure}
[ph]
\begin{center}
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\end{exercise}


\end{document}