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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 12709031746385--
%%--Bissectrices et parabole--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
Soit $\mathcal{E}$ le plan muni du repère orthonormal $(O;\overrightarrow
{\imath\;},\overrightarrow{\jmath\;})$.

Soit $D$ la droite d'équation : $y=-1$ et $F$ le point de coordonnées $(0;1)$.

A tout point $M$ du plan on associe le point $H$ projeté orthogonal de $M$ sur
$D$.

On considère $\mathcal{P}$ l'ensemble des points $M$ tels que
\[
MF=MH
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de $H$ en fonction de $x$ et $y$.

\item Calculer en fonction de $x$ et $y$ les distances $MF$ et $MH$.

\item En déduire que $M$ appartient à $\mathcal{P}$ si, et seulement si,
\[
y=\frac{x^{2}}{4}%
\]
Comment s'appelle l'ensemble $\mathcal{P}$ ?
\end{enumerate}

\item On considère les points $M$ et $M^{\prime}$ de $\mathcal{P}$ d'abscisses
respectives $4$ et $-1$ et $H$ et $H^{\prime}$ leur projetés orthogonaux
respectifs sur~$D$.

Soit $\left(  \Delta\right)  $ la bissectrice de l'angle $\widehat{FMH}$ et
$\left(  \Delta^{\prime}\right)  $ la bissectrice de l'angle $\widehat
{FM^{\prime}H^{\prime}}$.

\begin{enumerate}
\item Placer les points $F$, $M$, $M^{\prime}$, $H$ et $H^{\prime}$ sur la
figure \ref{parabole} page \pageref{parabole}.

\item Préciser les coordonnées des points $M$, $M^{\prime}$, $H$ et
$H^{\prime}$.

\item Exprimer les composantes des vecteurs $\overrightarrow{FM\;}$ et
$\overrightarrow{FM^{\prime}\;}$, et montrer qu'ils sont colinéaires.

Que peut-on en déduire ?

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les équations des réduites droites $\left(  \Delta\right)  $
et $\left(  \Delta^{\prime}\right)  $.

\item Tracer ces droites et montrer qu'elles sont perpendiculaires.

\item Déterminer les coordonnées de leur point commun et montrer qu'il
appratient à $D$.
\end{enumerate}

\item $\left(  \Delta\right)  $ coupe l'axe $\left(  O;\overrightarrow
{j\;}\right)  $ en $T$. Donner une équation de la perpendiculaire à $\left(
\Delta\right)  $ en $M$.

Cette droite coupe l'axe $\left(  O;\overrightarrow{j\;}\right)  $ en $N$.
Montrer $F$ est le milieu de $[NT]$.
\end{enumerate}

\item On appelle $Q$ le projeté de $M$ sur l'axe $\left(  O;\overrightarrow
{j\;}\right)  $ et $I$ le milieu de $[FH]$.

Donner le nom et les éléments caractéristiques de la transformation qui
associe le triangle $MNQ$ au triangle $IFO$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

%

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[ptb]
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%EndExpansion


{\Large Aide à la correction%
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%BeginExpansion
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%EndExpansion
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