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\renewcommand{\labelitemii}{.}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
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\def \points#1%
{\if -#1 \xspace \else {\small ( #1 points )}\xspace\fi }
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 12692554825848--
%%--Coordonnées de vecteurs, alignement et parallélisme--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
Soit $(O,I,J)$ un repère du plan; on pose $\overrightarrow{OI\;}=\vec{\imath}
$ et $\overrightarrow{OJ\;}=\vec{\jmath}$.%

%TCIMACRO{\FRAME{fpF}{353.75pt}{354.3125pt}{0pt}{}{\Qlb{rep1_oesm}}%
%{Figure}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%BeginExpansion
\begin{figure}
[p]
\begin{center}
\includegraphics[
height=354.3125pt,
width=353.75pt
]%
{Include/i3fgzcg5.eps}%
\label{rep1_oesm}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\FRAME{fpF}{340.1875pt}{217.8125pt}{0pt}{}{\Qlb{rep2_rueiou}}%
%{Figure}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "PICT";  valid_file "T";
%width 340.1875pt;  height 217.8125pt;  depth 0pt;  original-width 245.0625pt;
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%BeginExpansion
\begin{figure}
[pp]
\begin{center}
\includegraphics[
height=217.8125pt,
width=340.1875pt
]%
{Include/i3fgzdg7.eps}%
\label{rep2_rueiou}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(3;4)$ et
$(-2;1)$ sur la figure Fig.\ref{rep1_oesm} page \pageref{rep1_oesm}.

\item Exprimer $\overrightarrow{OA\;}$ puis $\overrightarrow{OB\;}$ en
fonction de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$. Quelle remarque peut-on faire?

\item Placer, sur la figure Fig.\ref{rep1_oesm} page \pageref{rep1_oesm}, le
point $C$ tel que $\overrightarrow{BC\;}=\overrightarrow{OA\;}$ puis exprimer
$\overrightarrow{BC\;}$ en fonction de $\vec{\imath}$ et de$~\vec{\jmath}$.

\item Le but de cette question est de déterminer tous les couples $(x;y)$ tels
que $\overrightarrow{BC\;}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$.

\begin{enumerate}
\item On suppose que $\overrightarrow{BC\;}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$,
montrer que $(x-3)\vec{\imath}=(4-y)\vec{\jmath}$.

\item Supposons que $x=3$; que vaut alors $y$?

\item Montrer que si $x\neq3$ alors $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ ont même
direction. Que peut-on en conclure?
\end{enumerate}

%

\[
\fbox{Les réels $x$ et $y$ tels que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ sont appelés
coordonnées de $\vec{u}$ et on note: $\vec{u}\ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y
\end{array}
\right)  $.}%
\]


\item On considère maintenant deux points $M$ et $P$ de coordonnées
respectives $(x_{M};y_{M})$ et $(x_{P};y_{P}).$

Voir figure Fig.\ref{rep2_rueiou} page \pageref{rep2_rueiou}.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MP\;}$.

\item Soit $R$ le milieu de $[MP]$. Que peut-on dire de $\overrightarrow
{MR\;}$ et $\overrightarrow{RP\;}$?

En déduire les coordonnées $x_{R}$ et $y_{R}$ de $R$ en fonction de $x_{M}$,
$y_{M}$, $x_{P}$ et $y_{P}$.

\item En reprenant les données de la première question, déterminer:

\begin{itemize}
\item les coordonnées de $G$ le milieu de $[AB]$;

\item les coordonnées de $H$ tel que $ABHC$ soit un parallélogramme.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item Soit $\vec{u}\ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
a\\
b
\end{array}
\right)  $, $\vec{v}\ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
a^{\prime}\\
b^{\prime}%
\end{array}
\right)  $ et $k$ un réel.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ en fonction de $a,$
$b,$ $a^{\prime},$ $b^{\prime},$ $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j} $
puis $k\overrightarrow{u}$ en fonction de $k,$ $a,$ $b,$ $\overrightarrow{i}$
et $\overrightarrow{j}.$

\item En déduire les coordonnées de $(\vec{u}+\vec{v})$ puis celles de
$k\vec{u}$ en fonction de celles de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$.
\end{enumerate}

\item Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Longleftrightarrow
$ $a^{\prime}b-ab^{\prime}=0$.
\end{enumerate}

\item Compléter:

On donne $\vec{u}\ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
a\\
b
\end{array}
\right)  $, $\vec{v}\ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
a^{\prime}\\
b^{\prime}%
\end{array}
\right)  $ et $k$ un réel.

\begin{itemize}
\item[*] $\vec{u}=\vec{v}$ si et seulement si
%TCIMACRO{\TeXButton{Complèter}{\makebox[2cm][l]{\dotfill}\;} }%
%BeginExpansion
\makebox[2cm][l]{\dotfill}\;
%EndExpansion
\ et
%TCIMACRO{\TeXButton{Complèter}{\makebox[2cm][l]{\dotfill}\;}}%
%BeginExpansion
\makebox[2cm][l]{\dotfill}\;%
%EndExpansion


\item[*] Les coordonnées de $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ sont
%TCIMACRO{\TeXButton{Complèter}{\makebox[4cm][l]{\dotfill}\;}}%
%BeginExpansion
\makebox[4cm][l]{\dotfill}\;%
%EndExpansion


\item[*] Les coordonnées de $(k\overrightarrow{u})$ sont
%TCIMACRO{\TeXButton{Complèter}{\makebox[4cm][l]{\dotfill}\;}}%
%BeginExpansion
\makebox[4cm][l]{\dotfill}\;%
%EndExpansion


\item[*] $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Longleftrightarrow$
%TCIMACRO{\TeXButton{Complèter}{\makebox[4cm][l]{\dotfill}\;}}%
%BeginExpansion
\makebox[4cm][l]{\dotfill}\;%
%EndExpansion

\end{itemize}

\item Placer le point $K(4;-2)$ dans la figure Fig.\ref{rep1_oesm} page
\pageref{rep1_oesm}.

Montrer que les droites $(BK)$ et $(AC)$ sont parallèles.

\item Placer le point $L(-1;-5)$ dans la figure Fig.\ref{rep1_oesm} page
\pageref{rep1_oesm}.

Les points $C$, $G$ et $L$ sont-ils alignés?
\end{enumerate}
\end{exercise}

{\Large Aide à la correction:%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{366.5625pt}{367.125pt}{0pt}{}{}{Figure}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
%width 366.5625pt;  height 367.125pt;  depth 0pt;  original-width 242.8125pt;
%original-height 243.1875pt;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";
%tempfilename 'Include/hr73jv07.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=367.125pt,
width=366.5625pt
]%
{Include/i3fgzeg9.eps}%
\end{center}
%EndExpansion
}


\end{document}