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\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
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{\if -#1 \xspace \else {\small ( #1 points )}\xspace\fi }
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 12672079566656--
%%--Démonstrations géométriques--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
Soit $ABCD$ un carr\'{e} et $M$ un point de $(BC)$. La perpendiculaire en $A$
\`{a} $(AM)$ rencontre $(CD)$ en $N$ et on d\'{e}signe par $I$ le milieu de
$[MN]$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure puis comparer $IC$ et $IA$ \`{a} $MN$.

\item Montrer que $B$, $I$ et $D$ sont align\'{e}s.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$ABCD$ est un losange de centre $I$. La perpendiculaire \`{a} la droite $(AB)$
passant par $D$ coupe la droite $(AB)$ en~$R$. Les droites $(DR)$ et $(AI)$ se
coupent en $H$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure soign\'{e}e.

\item D\'{e}montrer que les droites $(BH)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires.

\item En d\'{e}duire que les droites $(BH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{exercise}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8.5cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8.5cm}%
%EndExpansion


\begin{exercise}
$ABC$ est un triangle de hauteur $[AH]$. $AH=6.3$cm, $BH=8.4$cm, $HC=3.4$cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer $AB$.

\item Soit $M$ le point de $[BC]$ tel que $BM=6$cm.

La perpendiculaire en $M$ \`{a} $(BC)$ coupe $[AB]$ en $P$.

Calculer $BP$ et $MP$.

\item Les droites $(PH)$ et $(AC)$ sont-elles parall\`{e}les?
\end{enumerate}
\end{exercise}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{7cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{7cm}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{2.7916in}{1.7236in}{0in}{}{}{Include/figure.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.7236in,
width=2.7916in
]%
{Include/figure.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion


\begin{exercise}
On consid\`{e}re un quadrilat\`{e}re quelconque $ABCD$ et on appelle $I$, $J$,
$K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. Montrer
que $IJKL$ est un parall\'{e}logramme.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $ABC$ un triangle isoc\`{e}le en $A$, on appelle:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2} }}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}
%EndExpansion


\begin{itemize}
\item $A^{\prime}$ le milieu de $[BC]$;

\item $H$ le projet\'{e} orthogonal de $A^{\prime}$ sur $(AC)$;

\item $K$ le milieu de $[HC]$;

\item $I$ le milieu de $[A^{\prime}H]$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Faire une figure soign\'{e}e.

\item Montrer que $(KI)$ et $(A^{\prime}C)$ sont parall\`{e}les.

\item Que repr\'{e}sente le point $I$ dans le triangle $AA^{\prime}K$?

\item Montrer que $(AI)$ et $(BH)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $ABCD$ un carr\'{e} et $M$ un point de $(BC)$. La perpendiculaire en $A$
\`{a} $(AM)$ rencontre $(CD)$ en $N$ et on d\'{e}signe par $I$ le milieu de
$[MN]$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure puis comparer $IC$ et $IA$ \`{a} $MN$.

\item Montrer que $B$, $I$ et $D$ sont align\'{e}s.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$ABCD$ est un losange de centre $I$. La perpendiculaire \`{a} la droite $(AB)$
passant par $D$ coupe la droite $(AB)$ en~$R$. Les droites $(DR)$ et $(AI)$ se
coupent en $H$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure soign\'{e}e.

\item D\'{e}montrer que les droites $(BH)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires.

\item En d\'{e}duire que les droites $(BH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

{\Large {Aide \`{a} la correction:} }

{\Large
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3.1981in}{2.0185in}{0in}{}{}{Include/figure.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%cropbottom "0";  filename 'Include/figure0.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=2.0185in,
width=3.1981in
]%
{Include/figure0.eps}%
}%
%EndExpansion
}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soient $\Gamma$ et $\Gamma^{\prime}$ deux cercles de centres respectifs $O$ et
$O^{\prime}$ et de m\^{e}me rayon. Ces deux cercles sont s\'{e}cants en $A$ et
$B$. La droite $(D)$ passant par $A$ et s\'{e}cante \`{a} $(OO^{\prime})$
recoupe $\Gamma$ en $P$ et $\Gamma^{\prime}$ en $Q^{\prime}$. La droite
$(D^{\prime})$ passant par $B$ et parall\`{e}le \`{a} $(D)$ recoupe $\Gamma$
en $Q$ et $\Gamma^{\prime}$ en $P^{\prime}$. D\'{e}montrer que les droites
$(PQ)$ et $(P^{\prime}Q^{\prime})$ sont parall\`{e}les.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $ABC$ un triangle quelconque et $I$ le milieu de $[BC]$.

Montrer par quatre m\'{e}thodes diff\'{e}rentes que $B$ et $C$ sont \`{a}
\'{e}gale distance de la droite $(AI)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re un carr\'{e} $ABCD$ et $I$, $J$ deux points tels que $ABI$ et
$BJC$ soient \'{e}quilat\'{e}raux directs.

Le but de cet exercice est de d\'{e}montrer que $D$, $I$ et $J$ sont align\'{e}s.

%% \begin{center}
%% \begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(8,4.4)
%% \psline(0,0)(4,0)
%% \psline(4,0)(4,4)
%% \psline(4,4)(0,4)
%% \psline(0,4)(0,0)
%% \psline(0,0)(2,3.464)
%% \psline(4,0)(2,3.464)
%% \psline(4,0)(7.464,2)
%% \psline(4,4)(7.464,2)
%% \psline(4,0)(-1.134,-1.134)
%% \psline(0,4)(-1.134,-1.134)
%% \rput(-0.3,-0.3){$A$}
%% \rput(4.3,-0.3){$B$}
%% \rput(4.3,4.3){$C$}
%% \rput(-0.3,4.3){$D$}
%% \rput(2.3,3.464){$I$}
%% \rput(7.764,2){$J$}
%% \rput(-1.434,-1.434){$F$}
%% \end{pspicture}
%% \end{center}%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{3.7957in}{2.4201in}{0pt}{}{}{figure.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.4201in,
width=3.7957in
]%
{Include/figure1.eps}%
\end{center}
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les mesures des angles $\widehat{DIA}$, $\widehat{AIB}$
et $\widehat{BIJ}$.

\item Conclure.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Soit $F$ le point tel que $FBD$ soit \'{e}quilat\'{e}ral direct. Montrer
que $F$, $A$ et $C$ sont align\'{e}s.

\item Soit $r$ la rotation de centre $B$, d'angle $60$%
%TCIMACRO{\U{b0} }%
%BeginExpansion
${{}^\circ}$
%EndExpansion
et de sens indirect; quelles sont les images de $F$, $A$ et $C$ par $r$.

\item Conclure.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item On se place dans le rep\`{e}re $(A,\overrightarrow{AB\;},\overrightarrow
{AD\;})$. D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ et $J$
dans ce rep\`{e}re.

\item Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{DI\;}$ et
$\overrightarrow{DJ\;}$?

\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}