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{\if -#1 \xspace \else {\small ( #1 points )}\xspace\fi }
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 12639793151466--
%%--Rayon de cercles inscrits dans des "triangles"--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
On donne trois figures dans lesquelles $a$ est un réel strictement positif.%

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\begin{figure}
[p]
\begin{center}
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\label{fig1_afe}%
\end{center}
\end{figure}
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%BeginExpansion
\begin{figure}
[pp]
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\label{fig2_afe}%
\end{center}
\end{figure}
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\begin{figure}
[ppp]
\begin{center}
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]%
{Include/i3fdgl77.eps}%
\label{fig3_afe}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion


Description des figures:

\begin{itemize}
\item Fig. \ref{fig1_afe} page \pageref{fig1_afe}: \textit{$ABC$ est un
triangle équilatéral de côté $a$; }

\item Fig. \ref{fig2_afe} page \pageref{fig2_afe}: \textit{$AB=a$ et le point
$C$ est l'une des intersections des cercles de rayon $a$ et de centres
respectifs $A$ et~$B$; }

\item Fig. \ref{fig3_afe} page \pageref{fig3_afe}: \textit{le triangle $AEF$
est équilatéral; les points $B$ et $C$ sont les intersections respectives des
demi-droites $[AE)$ et $[AF)$ avec le cercle de centre $A$ et de rayon $2a$;
$D$ et $G$ sont les points de la droite $(EF)$ tels que les triangles $BED$ et
$CFG$ soient équilatéraux. }
\end{itemize}

On se propose dans chaque figure de calculer le rayon $r$ du cercle
$\mathcal{C}$ tangent aux trois côtés du \og triangle $ABC$\fg. On convient,
pour cet exercice, d'appeler \og triangles\fg des figures où les côtés sont
des arcs de cercle.

\begin{enumerate}
\item Représenter à la règle et au compas les trois figures en prenant $3$~cm
comme mesure pour $a$ et en laissant apparaître les traits de construction.

Dans la suite du problème $a$ est un réel strictement positif inconnu.

On complétera à la règle et au compas les figures au fur et à mesure des
questions, en prenant soin de laisser les traits de construction, de sorte que
l'on fasse bien la différence entre les traits de la figure proprement dite et
ceux qui ont servi à sa construction.

\item Dans la \textit{fig. \ref{fig1_afe}}, construire le cercle $\mathcal{C}
$ pour le triangle $ABC$ et déterminer son rayon en fonction de $a$.

On se souviendra de la position du centre de gravité sur une médiane.

\item Dans la \textit{fig. \ref{fig2_afe}}, on appelle $O$ le centre du cercle
$\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $OA$ en fonction de $r$ et de $a$.

\item En utilisant le théorème de Pythagore, déduire $r$ en fonction de $a$
\end{enumerate}

\item Dans la \textit{fig. \ref{fig3_afe}}, on appelle $O$ le centre du cercle
$\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la longueur de la \og courbe\fg$DBCG$ est égale à \smash{$\cfrac{4\pi a}{3}$}.

\item Démontrer que $OA=2a-r$.

\item En déduire que $r$ vérifie l'équation $(2a-r)^{2}-4r^{2}=0$.

\item En déduire $r$ en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}