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\begin{document}

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\begin{exercise}
On pourra compléter à volonté les figures Fig.\ref{figure1_a},
Fig.\ref{figure2_b} et Fig.\ref{figure3_c}, et s'en servir pour les justifications.

On considère deux triangles isocèles $ADF$ et $BCF$ de sommets principaux
respectifs $D$ et $C$.

Soit $\Delta$ la médiatrice de $[AF]$ et $\Delta^{\prime}$ la médiatrice de
$[BF]$ -Fig.\ref{figure1_a}-.

\begin{enumerate}
\item A quelle condition les droites $\Delta$ et $\Delta^{\prime}$ sont-elles
parallèles ?

\item Soit $O$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\Delta^{\prime}$.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les images de $F$ par les réflexions d'axes $\Delta$ et
$\Delta^{\prime}$ ?

\item En déduire que $A$, $B$ et $F$ sont sur un même cercle dont on précisera
le centre.

\item Montrer que la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $O$ est la
médiatrice de $[AB]$.
\end{enumerate}

\item On suppose que $O$ appartient à la droite $(AB)$ -Fig.\ref{figure2_b}-.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la position de $O$ par rapport au segment $[AB]$ ?

\item En déduire que, dans le triangle $ABF$, l'angle $\hat{F}$ est droit.

\item En déduire que $\Delta$ et $\Delta^{\prime}$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\item On suppose en plus que $ABCD$ est un trapèze rectangle en $A$ et $B$
-Fig.\ref{figure3_c}-.

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\widehat{AFD}+\widehat{BFC}=90$\degre.

\item En déduire que les points $C$, $D$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}

\item On appelle $I$ le milieu de $[CF]$ et $E$ le point d'intersection de
$(BI)$ et de la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $F$.

Soit $s$ la symétrie centrale de centre $I$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de $(BC)$ par $s$ ?

\item En déduire l'image de $B$ par $s$.

\item Montrer que le quadrilatère $BCEF$ est parallélogramme.
\end{enumerate}

\item On considère $G$ le point d'intersection de $\Delta^{\prime}$ et de
$(FE)$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $G$ est l'image de $C$ dans la réflexion d'axe $(BF)$.

On utilisera, par exemple et au choix, le théorème de Thalès ou l'angle
$\widehat{BFG}$.

\item En déduire la nature du quadrilatère $BCFG$, que $F$ est la milieu de
$[EG]$ et que les droites $(CE)$ et $(CG)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
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