\documentclass[a4paper]{article}%
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{xspace}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{lastpage}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{afterpage}%
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{amssymb}%
\usepackage{graphicx}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 19:54:29}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
\geometry{a4paper,marginpar=2cm,lmargin=0cm,rmargin=2cm,marginparsep=0pt,includemp=true,reversemp=true,headsep=-0.2in}
\setlength{\theorempostskipamount}{2\baselineskip}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{\theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
}
\newcounter{Cack}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{acknowledgement}[Cack]{A
savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{Méthode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccorr}[section]
\renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction
de l'exercice}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypothèse}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Critère}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{Définition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{\theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}{\Roman{Cprob}.}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
{\theorembodyfont{\large\mdseries}\newcounter{Cprop}[section]\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
\newcounter{Crem}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1}\renewcommand{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline}{#1}}
\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newcounter{exo}
\newcommand{\exo}[1][-]{\stepcounter{exo}\par\vspace{2ex}\noindent{\bf Exercice \theexo\space}\points{#1}\\[1ex]\noindent}
\newcommand{\partie}[2][]{\section*{Partie #2.\ \small{#1}}}
\newcommand{\GN}{\ensuremath{\mathbb{N}}\xspace}
\newcommand{\GR}{\ensuremath{\mathbb{R}}\xspace}
\newcommand{\GC}{\ensuremath{\mathbb{C}}\xspace}
\newcommand{\GZ}{\ensuremath{\mathbb{Z}}\xspace}
\newcommand{\GQ}{\ensuremath{\mathbb{Q}}\xspace}
\newcommand{\GD}{\ensuremath{\mathbb{D}}\xspace}
\newcommand{\ssi}{\ensuremath{\Longleftrightarrow}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow{#1\;}}
\newcommand{\oij}{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}
\newcommand{\oijk}{\left(O;\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k}\right)}
\newcommand{\ouv}{\left(O;\vecteur{u},\vecteur{v}\right)}
\newcommand{\congru}[3]{#1\equiv#2\quad\text{modulo }#3}
\newcommand{\segN}[2]{\left\{ #1\ldots #2\right\}}
\newcommand{\anglevec}[2]{\left(\vecteur{#1};\vecteur{#2}\right)}
\newcommand{\PGCD}{\mathit{PGCD}}
\newcommand{\Mod}{\quad\mathit{Mod}}
\newcommand{\Intoo}[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand{\Intfo}[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand{\Intof}[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand{\Intff}[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newenvironment{listetr}
{   \renewcommand{\labelitemi}{$\bulet$}
\renewcommand{\labelitemii}{.}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\newcommand{\cro}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
}
\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}
}
\everymath{\displaystyle}
\def \points#1%
{\if -#1 \xspace \else {\small ( #1 points )}\xspace\fi }
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1259232297710--
%%--Barycentre partiel et lieu géométrique--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
$ABCD$ est un quadrilatère convexe. On appelle $I$ et $J$ les milieux
respectifs de $[AD]$ et de $[BC]$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Placer les points $M$ et $N$ définis par: $\overrightarrow{AM\;}%
=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB\;}$ et $\overrightarrow{DN\;}=\frac{1}%
{3}\overrightarrow{DC\;}$.

\item Montrer que $M=\text{Bar}\{(A;2);(B;1)\}$ et $N=\text{Bar}\{(D;2)%
;(C;1)\}$.

\item Le but de cette question est de démontrer que le milieu de $[MN]$ est un
point de la droite $(IJ)$ et de préciser la position de ce point sur $(IJ) $.
Soit $G=\text{Bar}\{(A;2);(B;1);(D;2);(C;1)\}$.

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $G=\text{Bar}\{(I;2);(J;1)\}$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}


\item Soit $k$ un réel. On considère les points $M$ et $N$ définis par
$\overrightarrow{AM\;}=k\overrightarrow{AB\;}$ et $\overrightarrow
{DN\;}=k\overrightarrow{DC\;}$.

Quel est le lieu géométrique des milieux $G$ de $[MN]$:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item lorsque $k$ décrit $\GR$?
\item lorsque $k$ décrit $[0;1]$?
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{claim}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La figure est laissée au soin du lecteur...

\item $M=\text{Bar}\{(A;2);(B;1)\} \Leftrightarrow \vec{AM}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}$ et $N=\text{Bar}\{(D;2)%
;(C;1)\}\Leftrightarrow \vec{DN}=\dfrac{1}{3}\vec{DC}$.

\item 
Soit $G=\text{Bar}\{(A;2);(B;1);(D;2);(C;1)\}$.

\begin{enumerate}
\item On sait que $(I\,;\,4)=\text{Bar}\{(A\,;\,2)\,;\,(D\,;\,2)\}$ et
  que $(J\,;\,2)=\text{Bar}\{(B\,;\,1)\,;\,(C\,;\,1)\}$,\\
  donc, par associativité du barycentre, $G=\text{Bar}\{(I\,;\,4);(J\,;\,2)\}=\fbox{$\text{Bar}\{(I\,;\,2);(J\,;\,1)\}$}$.
\item D'après la question précédente on a $G\in(IJ)$ et plus précisément $\vec{IG}=\frac{1}{3}\vec{IJ}$.\\
  D'autre part, par associativité du barycentre, on a $G=\text{Bar}\{(M\,;\,3)\,;\,(N\,;\,3)\}=\text{Milieu de }[MN]$.\\
  On peut donc conclure que \fbox{le milieu de $[MN]$ se trouve au tiers de $[IJ]$ en partant de $I$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\item
  \begin{itemize}
  \item
   \begin{eqnarray*}
     \vec{AM}=k\vec{AB} &\Leftrightarrow &\vec{MA}+k\vec{AM}+k\vec{MB}=\vec{0}\Leftrightarrow (1-k)\vec{MA}+k\vec{MB}=\vec{0}\\
                        &\Leftrightarrow &\fbox{$M=\text{Bar}\{(A\,;\,1-k)\,;\,(B\,;\,k)\}$}.
  \end{eqnarray*}
\item Un calcul similaire donne \fbox{$N=\text{Bar}\{(D\,;\,1-k)\,;\,(C\,;\,k)\}$}.
\item Soit $G'=\text{Bar}\{(A\,;\,1-k)\,;\,(B\,;\,k)\,;\,(D\,;\,1-k)\,;\,(C\,;\,k)\}$.\\
  \begin{itemize}
  \item Par associativité du barycentre, on a $G'=\text{Bar}\{(M\,;\,1)\,;\,(N\,;\,1)\}=G$ le milieu de $[MN]$.
  \item   Comme\quad%
    $\left\{
      \begin{array}[c]{l}
        I=\text{Milieu de }[AD]\\
        \hfill\text{et}\hfill\\
        J=\text{Milieu de }[BC]\\
      \end{array}
    \right.$
    \quad on a, pour $0\neq k\neq1$,\quad
    $\left\{
      \begin{array}[c]{l}
        (I\,;\,2-2k)=\text{Bar}\{(A\,;\,1-k)\,;\,(D\,;\,1-k)\}\\
        \hfill\text{et}\hfill\\
        (J\,;\,2k)=\text{Bar}\{(B\,;\,k)\,;\,(C\,;\,k)\}\\
      \end{array}
    \right.$\\
    et donc, par associativité du barycentre, on a :
    $$\text{ pour } 0\neq k\neq1,\quad G=\text{Bar}\{(I\,;\,2k-2)\,;\,(J\,;\,2k)\}=\text{Bar}\{(I\,;\,k-1)\,;\,(J\,;\,k)\}$$
    \begin{itemize}
    \item[Si $k=0$ :]$G=\text{Bar}\{(A\,;\,1)\,;\,(B\,;\,0)\,;\,(D\,;\,1)\,;\,(C\,;\,0)\}=\text{Bar}\{(A\,;\,1)\,;\,(D\,;\,1)\}=I$
    \item[Si $k=1$ :]$G=\text{Bar}\{(A\,;\,0)\,;\,(B\,;\,1)\,;\,(D\,;\,0)\,;\,(C\,;\,1)\}=\text{Bar}\{(B\,;\,1)\,;\,(C\,;\,1)\}=J$
    \end{itemize}
    et donc  :
    $$\fbox{$\forall k\in \mathbb{R},\;G=\text{Bar}\{(I\,;\,k-1)\,;\,(J\,;\,k)\}$}$$
    car $\text{Bar}\{(I\,;\,-1)\}=I$ et $\text{Bar}\{(J\,;\,1)\}=J.$
    
  \end{itemize}
\end{itemize}
  
\begin{enumerate}
\item $\forall k\in\mathbb{R}$, on a vu que le milieu $G$ de $[MN]$ est le barycentre du système $\{(I\,;\,k-1)\,;\,(J\,;\,k)\}$ et donc que $\vec{IG}=k\vec{IJ}$. On en déduit que :
  $$\fbox{$G\text{ décrit la droite }(IJ)\text{ lorsque } k \text{ décrit }\mathbb{R}$}.$$
\item De $\vec{IG}=k\vec{IJ}$. On en déduit que :
  $$\fbox{$G\text{ décrit le segment }[IJ]\text{ lorsque } k \text{ décrit }\left[0\,;\,1\right] $}.$$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{claim}
\end{document}