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[D�monstration]
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\begin{document}
Copyright (c) 2004, Herv\'{e} OLLIVIER. Le contenu de ce document peut
\^{e}tre redistribu\'{e} sous les conditions \'{e}nonc\'{e}es dans la Licence
pour Documents Libres version 1.1 ou utl\'{e}rieure.\newline{}
%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� 1223831869426--
%%--Introduction � l\'exponentielle--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\section{Activit\'{e} 1 Fonctions transformant une somme en un produit}

Dans cette activit\'{e}, on s'interresse aux fonctions $f$ d\'{e}rivables
\ sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ telles que : pour tous r\'{e}els $x$ et $y,$%
\[
f(x+y)=f(x)\times f(y)\text{
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }%
(1)
\]


On suppose qu'il existe une fonction non nulle \ v\'{e}rifiant $(1).$

\begin{enumerate}
\item Soit $t$ un r\'{e}el tel que $f(t)\neq0.$

En rempla\c{c}ant $x$ par $t$ et $y$ par $0,$montrer que $f(0)=1.$

\item
\begin{enumerate}
\item En remarquant que $x=\frac{x}{2}+\frac{x}{2},$ d\'{e}montrer que $f$ est
une fonction strictement positive.

\item En d\'{e}duire, \ que pour tous r\'{e}els $x$ et $y,$ $\ f\left(
\dfrac{x+y}{2}\right)  =\sqrt{f(x)f(y)}.$

\item On consid\`{e}re la suite $(u_{n})$ d\'{e}finie sur $%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ par $u_{n}=f(n).$

D\'{e}montrer que la suite $\left(  u_{n}\right)  $ est g\'{e}om\'{e}trique;
\ en d\'{e}duire que pour tout entier $n,$ \ $f(n)=\left(  f(1)\right)  ^{n}.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ un r\'{e}el fix\'{e}. \ En comparant les d\'{e}riv\'{e}es des
fonctions $x\longmapsto f(x+a)$ et $x\longmapsto f(x)f(a),$ d\'{e}montrer que
pour tout r\'{e}el $x,$ $f^{\prime}(x+a)=f^{\prime}(x)f(a).$

En d\'{e}duire que $f^{\prime}(a)=f^{\prime}(0)f(a).$

\item En d\'{e}duire l'\'{e}xistence d'un r\'{e}el non nul $\lambda,$ tel que
pour tout r\'{e}el $x,$ \ \ $f^{\prime}(x)=\lambda f(x).$
\end{enumerate}

On est donc ramen\'{e} \`{a} la recherche d'une fonction proportionnelle \`{a}
sa d\'{e}riv\'{e}e .
\end{enumerate}

\bigskip

\section{Activit\'{e} 2 Recherche d'une fonction $\varphi$ telle que
$\varphi^{\prime}=\varphi$ et $\varphi(0)=1$}

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. \ Quel est le degr\'{e} de la
d\'{e}riv\'{e}e d'un polyn\^{o}me de degr\'{e} $n?$

En d\'{e}duire qu'il n'existe\ pas de fonction polyn\^{o}me $P$ telle que
$P^{\prime}=P$ et $P(0)=1.$

\item Soit $P$ et $Q$ deux fonctions polyn\^{o}mes \ et $I$ un intervalle sur
lequel la fonction $\frac{P}{Q}$ est d\'{e}finie.

D\'{e}montrer que $\left(  \frac{P}{Q}\right)  ^{\prime}=\frac{P}{Q}$ si et
seulement si, \ $P^{\prime}Q-Q^{\prime}P=PQ.$

En d\'{e}duire qu'il n'existe aucune fonction rationnelle non nulle \ qui est
\'{e}gale \`{a} sa d\'{e}riv\'{e}e.

\item Soit $t_{0}$ un r\'{e}el non nul. On a vu qu'une fonction d\'{e}rivable
peut \^{e}tre approch\'{e}e par une fonction affine (d\'{e}veloppement
limit\'{e} d'ordre 1). A s'aidant de cette propri\'{e}t\'{e}, nous allons
construire de proche en proche une fonction $f_{n}$ continue et affine par
morceaux \ qui fournira une approximation de $\varphi$ entre $0$ et $t_{0}.$
Cette m\'{e}thode est appel\'{e}e m\'{e}thode d'EULER.

Pour cela on pose $x_{0}=0,$ $x_{1}=\dfrac{t_{0}}{n},$ $x_{2}=2\times
\dfrac{t_{0}}{n},...,x_{k}=k\times\dfrac{t_{0}}{n},...,x_{n}=t_{0}.$(on
d\'{e}coupe l'intervalle $\left[  0;t_{0}\right]  $ en $n$ intervalles) \ et
on d\'{e}finit de proche en proche \ les valeurs approch\'{e}es $y_{0},$
$y_{1},...,y_{n}$ des images $\varphi(y_{0}),....$ en utilisant
l'approximation:%
\begin{align*}
\varphi(x+h)  & \approx\varphi(x)+\varphi^{\prime}(x)h\\
\varphi(x+h)  & \approx(1+h)\varphi(x)
\end{align*}


On obtient donc $x_{0}=0$ et $y_{0}=\varphi(x_{0})=1$ et pour tout entier $k $
compris entre $0$ et $n-1,$ on a $y_{k+1}=\varphi\left(  x_{k}+\dfrac{t_{0}%
}{n}\right)  \approx\left(  1+\dfrac{t_{0}}{n}\right)  \varphi\left(
x_{k}\right)  $ soit $y_{k+1}\approx\left(  1+\dfrac{t_{0}}{n}\right)  y_{k}$ .

La courbe $f_{n}$ est obtenue en reliant les points $A_{k}\left(  x_{k}%
;y_{k}\right)  $

\begin{enumerate}
\item Construire\ la fonction $f_{4}$ en prenant $t_{0}=2,$ et $n=4.$

\item Construire\ la fonction $f_{5}$ en prenant $t_{0}=1,$ et $n=5.$

\item Construire\ la fonction $f_{4}$ en prenant $t_{0}=-2,$ et $n=4.$

\item Quelle conjecture peut-on \'{e}mettre concernant le signe et le sens de
variation de $\varphi.$
\end{enumerate}

\item On suppose qu'il existe une fonction $\varphi$ d\'{e}rivable sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ telle que $\varphi(0)=1$ et $\varphi^{\prime}=\varphi.$

D\'{e}montrer que la fonction $x\longmapsto\varphi(x)\varphi(-x)$ est
constante\ sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
.$

En d\'{e}duire que la fonction $\varphi$ ne s'annule pas sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ et que pour tout r\'{e}el $x,\varphi(-x)=\dfrac{1}{\varphi(x)}$
\end{enumerate}


\end{document}