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[Démonstration]
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{\ \fbox{cqfd.}
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 12173417012934--
%%--Introduction aux nombres complexes--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%

\Titre{Equations du troisième degré ou la naissance de $i$.}
\Classe{Terminale SVT3}
\Date{Le 10 novembre 2003}
\date{}
\maketitle\fancyhead{}
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\cfoot{\scriptsize{\LeTitre}}
\rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
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\thispagestyle{fancy}%


\begin{enumerate}
\item \underline{Pr\'{e}requis}

\begin{itemize}
\item Pour tout r\'{e}el positif ou nul, on a d\'{e}fini $\sqrt{a}$ comme
\'{e}tant le r\'{e}el positif tel que $\sqrt{a}^{2}=a;$

\item De m\^{e}me, pour tout r\'{e}el positif ou nul, on d\'{e}finit
$\sqrt[3]{a}$ comme \'{e}tant l'unique r\'{e}el tel que $\left(  \sqrt[3]%
{a}\right)  ^{3}=a.$

On d\'{e}montre alors que: $\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}.$
\end{itemize}

\item \underline{Un cas simple}

R\'{e}soudre dans $\mathbb{R}$ l'\'{e}quation $x^{3}-7x+6=0.$

\emph{(on pourra utiliser une solution \'{e}vidente)}

\item \underline{Un cas plus difficile: la m\'{e}thode de \textsc{Cardan}%
}\textsc{\footnote{Math\'{e}maticien du $XVI^{i\grave{e}me}$ si\`{e}cle. Il
est l'inventeur du cardan: syst\`{e}me m\'{e}canique (largement utilis\'{e}
dans l'industrie automobile) permettant de transmettre un mouvement circulaire
dans un plan non n\'{e}cessairement parall\`{e}le au plan de rotation
initial.}}

On consid\`{e}re l'\'{e}quation $\left(  E\right)  :\quad x^{3}-6x-6=0.$

\begin{enumerate}
\item En \'{e}tudiant la fonction $f:x\mapsto x^{3}-6x-6,$ d\'{e}montrer que
$(E)$ admet une unique solution r\'{e}elle.

\item Les questions suivantes vont permettre de d\'{e}terminer la valeur
exacte de cette solution en utilisant la m\'{e}thode de Cardan:

\begin{enumerate}
\item \label{Methode}Supposons qu'il existe deux r\'{e}els $u$ et $v$ tels
que:%
\[
\left(  1\right)  \left\{
\begin{tabular}
[c]{l}%
$u^{3}+v^{3}=6$\\
et\\
$uv=2$%
\end{tabular}
\ \right.  .
\]


D\'{e}montrer alors que $u+v$ est solution de $\left(  E\right)  .$

\item D\'{e}montrer que:$\quad\left(  1\right)  \Longrightarrow u^{3}\quad
$et$\quad v^{3}$ sont solutions de $X^{2}-6X+8=0.$

\item En d\'{e}duire $u^{3}$ et $v^{3},$ puis\ l'unique solution de $\left(
E\right)  .$

\begin{remark}
Cardan d\'{e}montre ainsi, en 1545, que l'\'{e}quation $x^{3}=px+q$ admet pour
solution:%
\[
\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left(  \frac{q}{2}\right)  ^{2}-\left(  \frac
{p}{3}\right)  ^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\left(  \frac{q}{2}\right)
^{2}-\left(  \frac{p}{3}\right)  ^{3}}}%
\]


Cette expression est connue sous le nom de formule de
\textsc{Tataglia-Cardan.}
\end{remark}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \underline{Un cas complexe!}

On consid\`{e}re l'\'{e}quation $\left(  E^{\prime}\right)  :\quad
x^{3}=15x+4.$

La repr\'{e}sentation graphique de $f:x\mapsto x^{3}-15x-4$ sugg\`{e}re que
$\left(  E^{\prime}\right)  $ poss\`{e}de 3 solutions r\'{e}elles:\bigskip%
\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=2.0003in,
width=3in
]%
{Include/12173417012934__1.eps}%
}\\
Graphe de $f:x\mapsto x^{3}-15x-4.$%
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Comme au \ref{Methode}, supposons qu'il existe deux r\'{e}els $u$ et $v
$ tels que:%
\[
\left(  2\right)  \left\{
\begin{tabular}
[c]{l}%
$u^{3}+v^{3}=4$\\
et\\
$uv=5$%
\end{tabular}
\ \right.  .
\]


D\'{e}montrer alors que $u+v$ est solution de $(E^{\prime}).$

\item D\'{e}montrer que:$\quad\left(  2\right)  \Longrightarrow u^{3}\quad
$et$\quad v^{3}$ sont solutions de $X^{2}-4X+125=0.$

\item Le probl\`{e}me est que l'\'{e}quation $x^{2}-4x+125=0$ n'a pas de
solution dans $\mathbb{R};$ la m\'{e}thode de Cardan semble mise en d\'{e}faut. C'est alors que le
math\'{e}maticien \textsc{Raphael Bombelli} (1526-1572) a l'id\'{e}e, os\'{e}e
mais g\'{e}niale, de poursuivre ces calculs en introduisant un nouvel
\'{e}l\'{e}ment que nous noterons $i$ (une id\'{e}e d'Euler au XVIII$^{i\grave
{e}me}$ s) tel que $i^{2}=-1.$

Dans les questions suivantes cet \'{e}l\'{e}ment $i$ suivra les m\^{e}mes
r\`{e}gles de calcul qu'une inconnue r\'{e}elle quelconque ($x$ par exemple)
mais on remplacera $i^{2}$ par $-1.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $X^{2}-4X+125=0\Leftrightarrow(X-2)^{2}=-121$ et
v\'{e}rifier que les "nombres" $2+11i$ et $2-11i$ sont solutions de
$(X-2)^{2}=-121.$

\item V\'{e}rifier que $\left(  2+i\right)  ^{3}=2+11i$ et $\left(
2-i\right)  ^{3}=2-11i.$

\item En d\'{e}duire $u$ et $v$ v\'{e}rifiant $(2),$ puis une solution de
$(E^{\prime}).$
\end{enumerate}

\item Donner toutes les solutions de $(E^{\prime}).$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{remark}
Historiquement Bombelli consid\`{e}re les "nombres" $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}$
et $\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$ qui ne sont pas des r\'{e}els mais il a l'immense
satisfaction de constater que leur somme vaut 4:%
\[
\left(  \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\right)  ^{3}=64.
\]


L'inconv\'{e}nient de la notation $\sqrt{-1}$ est qu'elle offre les
possibilit\'{e}s d'\'{e}crire:%
\[
\sqrt{-1}^{2}=-1\quad\text{et}\quad\sqrt{-1}^{2}=\sqrt{-1}\times\sqrt
{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=1
\]
ce qui malm\`{e}ne nos r\'{e}gles de calculs habituelles ou notre rationnalit\'{e}.

Ainsi l'\'{e}quation $x^{2}=-1$ \textbf{n'admet pas pour solutions} $\pm
\sqrt{-1}$ mais $\pm i.$
\end{remark}

\end{document}