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}
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\begin{document}

\title{Notion de continuit\'{e}}
\date{\ }
\author{}
\maketitle

Copyright (c) 2004, Philippe Ivaldi. Le contenu de ce document peut \^{e}tre
redistribu\'{e} sous les conditions \'{e}nonc\'{e}es dans la Licence pour
Documents Libres version 1.1 ou utl\'{e}rieure.\newline{}
%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 11868358261233--
%%--Introduction à la notion de continuité--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\thispagestyle{fancy}}}%
%BeginExpansion
\thispagestyle{fancy}%
%EndExpansion


\section{Sur la r\'{e}solution d'\'{e}quations}

\subsection{Un raisonnement insuffisant\label{insuf}}

Les figures ci-dessous sont les repr\'{e}sentations graphiques de fonctions
$f$ d\'{e}finies sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
.$\linebreak\emph{R\'{e}soudre} \emph{graphiquement l'\'{e}quation
}$\emph{f(x)=k,}$ c'est trouver, s'ils existent, les points d'intersection de
la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite d'\'{e}quation $y=k.$%

%TCIMACRO{\TeXButton{multicols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\FRAME{itbpFUX}{4.5163cm}{4.5163cm}{0cm}{\Qcb{Figure 1}}{}%
%{Plot}{\special{ language "Scientific Word";  type "MAPLEPLOT";
%width 4.5163cm;  height 4.5163cm;  depth 0cm;  display "FULL";
%plot_snapshots TRUE;  mustRecompute FALSE;  lastEngine "MuPAD";  xmin "-5";
%xmax "5";  xviewmin "-5";  xviewmax "5";  yviewmin "-5";  yviewmax "4";
%viewset "XY";  rangeset "X";  plottype 4;  plotticks 1;  num-x-ticks 10;
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%axesstyle "normal";  xis \TEXUX{x};  yis \TEXUX{y};  var1name \TEXUX{$x$};
%var2name \TEXUX{$y$};  function \TEXUX{$1.5$};  linecolor "black";
%linestyle 3;  pointstyle "point";  linethickness 1;  lineAttributes "Dots";
%var1range "-5,5";  num-x-gridlines 300;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";
%curveStyle "Line";  function \TEXUX{$2(0.25x+1)\exp (-0.5x)$};
%linecolor "black";  linestyle 1;  pointstyle "point";  linethickness 1;
%lineAttributes "Solid";  var1range "-5,5";  num-x-gridlines 49;
%curveColor "[flat::RGB:0000000000]";  curveStyle "Line";
%function \TEXUX{$e$};  linecolor "black";  linestyle 3;  pointstyle "point";
%linethickness 1;  lineAttributes "Dots";  var1range "-5,5";
%num-x-gridlines 49;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";  curveStyle "Line";
%function \TEXUX{$-3$};  linecolor "black";  linestyle 3;  pointstyle "point";
%linethickness 1;  lineAttributes "Dots";  var1range "-5,5";
%num-x-gridlines 49;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";  curveStyle "Line";
%valid_file "T";
%tempfilename 'Include/hmaggc00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0cm}{\parbox[b]{4.5163cm}{\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=4.5163cm,
width=4.5163cm
]%
{Include/11868358261233__1.eps}%
}\\
Figure 1
\end{center}}}%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\FRAME{itbpFUX}{4.5163cm}{4.5163cm}{0cm}{\Qcb{Figure 2}}{}%
%{Plot}{\special{ language "Scientific Word";  type "MAPLEPLOT";
%width 4.5163cm;  height 4.5163cm;  depth 0cm;  display "FULL";
%plot_snapshots TRUE;  mustRecompute FALSE;  lastEngine "MuPAD";  xmin "-5";
%xmax "5";  xviewmin "-5";  xviewmax "5";  yviewmin "-5";  yviewmax "5";
%viewset "XY";  rangeset "X";  plottype 4;  plotticks 1;  num-x-ticks 10;
%num-y-ticks 10;  labeloverrides 3;  numpoints 49;  plotstyle "patch";
%axesstyle "normal";  xis \TEXUX{x};  yis \TEXUX{y};  var1name \TEXUX{$x$};
%var2name \TEXUX{$y$};  function \TEXUX{$1.5$};  linecolor "black";
%linestyle 3;  pointstyle "point";  linethickness 1;  lineAttributes "Dots";
%var1range "-5,5";  num-x-gridlines 300;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";
%curveStyle "Line";  function \TEXUX{$\frac{-3}{2}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}$};
%linecolor "black";  linestyle 1;  pointstyle "point";  linethickness 1;
%lineAttributes "Solid";  var1range "-5,5";  num-x-gridlines 49;
%curveColor "[flat::RGB:0000000000]";  curveStyle "Line";
%function \TEXUX{$-1.5$};  linecolor "black";  linestyle 3;
%pointstyle "point";  linethickness 1;  lineAttributes "Dots";
%var1range "-5,5";  num-x-gridlines 49;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";
%curveStyle "Line";  valid_file "T";
%tempfilename 'Include/hmaggc01.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0cm}{\parbox[b]{4.5163cm}{\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=4.5163cm,
width=4.5163cm
]%
{Include/11868358261233__2.eps}%
}\\
Figure 2
\end{center}}}%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\FRAME{itbpFUX}{4.5163cm}{4.5163cm}{0cm}{\Qcb{Figure 3}}{}%
%{Plot}{\special{ language "Scientific Word";  type "MAPLEPLOT";
%width 4.5163cm;  height 4.5163cm;  depth 0cm;  display "USEDEF";
%plot_snapshots TRUE;  mustRecompute FALSE;  lastEngine "MuPAD";  xmin "-5";
%xmax "5";  xviewmin "-5";  xviewmax "5";  yviewmin "-5";  yviewmax "5";
%viewset "XY";  rangeset "X";  plottype 4;  plotticks 1;  num-x-ticks 10;
%num-y-ticks 10;  labeloverrides 3;  numpoints 49;  plotstyle "patch";
%axesstyle "normal";  xis \TEXUX{x};  yis \TEXUX{y};  var1name \TEXUX{$x$};
%var2name \TEXUX{$y$};  function \TEXUX{$3$};  linecolor "black";
%linestyle 3;  pointstyle "point";  linethickness 1;  lineAttributes "Dots";
%var1range "-5,5";  num-x-gridlines 300;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";
%curveStyle "Line";  function \TEXUX{$\frac{1}{25}x^{3}$};  linecolor "black";
%linestyle 1;  pointstyle "point";  linethickness 1;  lineAttributes "Solid";
%var1range "-5,5";  num-x-gridlines 49;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";
%curveStyle "Line";  function \TEXUX{$-4$};  linecolor "black";  linestyle 3;
%pointstyle "point";  linethickness 1;  lineAttributes "Dots";
%var1range "-5,5";  num-x-gridlines 49;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";
%curveStyle "Line";  valid_file "T";
%tempfilename 'Include/hmaggd02.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0cm}{\parbox[b]{4.5163cm}{\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=4.5163cm,
width=4.5163cm
]%
{Include/11868358261233__3.eps}%
}\\
Figure 3
\end{center}}}%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


Si, dans certains cas (fonction affine ou polyn\^{o}me du 2$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$ degr\'{e}s ou fonction rationnelle par exemple), on sait (devrait savoir...)
r\'{e}soudre l'\'{e}quation $f(x)=k,$ dans la plupart des cas, une solution
alg\'{e}brique (exacte) est impossible. On se tourne alors vers l'\'{e}tude de
la fonction $f$ qui permet, bien souvent, de d\'{e}terminer le nombre de
solution(s) ainsi que des valeurs approch\'{e}es de ces solutions (s'il y en
a) avec autant de pr\'{e}cision que l'on veut.\smallskip

On pourrait (si l'on connaissait l'expression de $f(x)$) d\'{e}montrer, par
exemple, que:

\begin{enumerate}
\item Dans la figure 1 l'\'{e}quation $f(x)=k$ a:

\begin{itemize}
\item Aucune solution pour $k\gtrsim2.7.$

\item Une seule solution pour $k\leq0.$

\item Deux solutions exactement pour $0<k\lessapprox2.7.$\smallskip
\end{itemize}

en avan\c{c}ant, \`{a} juste titre, que $f$ est croissante sur $\left]
-\infty;\simeq2.7\right[  ,$ d\'{e}croissante sur $\left]  \simeq
2.7;+\infty\right[  ,$ avec $\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x)=-\infty$
et $\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)=0;$ Ce qui \emph{parait} concluant...

\item Dans la figure 2 l'\'{e}quation $f(x)=k$ a:

\begin{itemize}
\item Aucune solution pour $k\geq\frac{3}{2}$ ou $k\leq-\frac{3}{2}%
.\smallskip$

\item Une seule solution pour $-\frac{3}{2}\leq k\leq\frac{3}{2}.$\smallskip
\end{itemize}

en avan\c{c}ant encore, et toujours \`{a} juste titre, que $f$ est
d\'{e}croissante sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ avec $\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x)=\frac{3}{2}$ et
$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)=-\frac{3}{2};$ Ce qui \emph{parait}
encore concluant...

\item Dans la figure 3 l'\'{e}quation $f(x)=k$ a une unique solution $\forall
k\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ en avan\c{c}ant que $f$ est croissante sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ avec $\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x)=-\infty$ et $\underset
{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)=+\infty;$ Pourtant...\newpage
\end{enumerate}

\subsection{Pourquoi est-ce insuffisant?}

\emph{Tout ce que nous avons avan\c{c}\'{e}, avec raison (c'est ce que nous
faisions en 2}$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$\emph{\ et en 1}$^{ere}$\emph{) ne suffit plus pour conclure! }

En effet, consid\`{e}rons le graphe suivant, de la fonction $f$ d\'{e}finie
par:%
\[
f(x)=%
\begin{Bmatrix}
\frac{\left\vert x\right\vert }{x}(x^{2}+1)\text{ si }x\neq0\\
f(0)=1
\end{Bmatrix}
.
\]%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpFUX}{3in}{2.0003in}{0pt}{\Qcb{{}Figure 4}}{\Qlb{Figure 4}%
%}{Plot}{\special{ language "Scientific Word";  type "MAPLEPLOT";  width 3in;
%height 2.0003in;  depth 0pt;  display "USEDEF";  plot_snapshots TRUE;
%mustRecompute FALSE;  lastEngine "MuPAD";  xmin "-2";  xmax "2";
%xviewmin "-3";  xviewmax "3";  yviewmin "-5";  yviewmax "5";  viewset "XY";
%rangeset "X";  plottype 4;  plotticks 1;  num-x-ticks 7;  num-y-ticks 10;
%numpoints 49;  plotstyle "patch";  axesstyle "normal";  xis \TEXUX{x};
%yis \TEXUX{y};  var1name \TEXUX{$x$};  var2name \TEXUX{$y$};
%function \TEXUX{$\frac{\left\vert x\right\vert }{x}(x^{2}+1)$};
%linecolor "black";  linestyle 1;  discont TRUE;  pointstyle "point";
%linethickness 1;  lineAttributes "Solid";  discont TRUE;  var1range "-2,2";
%num-x-gridlines 100;  curveColor "[flat::RGB:0000000000]";
%curveStyle "Line";  rangeset "X";  valid_file "T";
%tempfilename 'Include/hmaggd03.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=2.0003in,
width=3in
]%
{Include/11868358261233__4.eps}%
}\\
{}Figure 4
\label{Figure 4}%
\end{center}
%EndExpansion


En reprenant les raisonnements pr\'{e}c\'{e}dents, nous dirions que:\smallskip

\begin{itemize}
\item $f$ est d\'{e}finie sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
.$

\item $f$ est croissante sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
.$

\item $\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}f(x)=-\infty$ et $\underset
{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)=+\infty.$\smallskip
\end{itemize}

N\'{e}anmoins nous ne pouvons pas d\'{e}cemment affirmer que l'\'{e}quation
$f(x)=k$ admet une unique solution pour tout $k$ de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ comme nous l'avions fait pr\'{e}c\'{e}dement; cela tient au fait que les
courbes du paragraphe \ref{insuf} sont \emph{\guilsinglleft d'un seul
morceau\guilsinglright } alors qu'ici ce n'est pas le cas.

Mais l'expression \emph{\guilsinglleft d'un seul morceau\guilsinglright }, si
elle est parlante, est trop impr\'{e}cise pour les math\'{e}maticiens, il
d\'{e}finissen alors, rigoureusement la...

\subsection{Notion de continuit\'{e}}

En effet, dans les graphes suivants:%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


$%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpFUX}{7.027cm}{5.0742cm}{0cm}{\Qcb{Figure 5: $%
%f(x)=1+\frac{\left\vert x\right\vert }{x}\sqrt{x^2-1}$}}{\Qlb{figure5}}%
%{Plot}{\special{ language "Scientific Word";  type "MAPLEPLOT";
%width 7.027cm;  height 5.0742cm;  depth 0cm;  display "USEDEF";
%plot_snapshots TRUE;  mustRecompute FALSE;  lastEngine "MuPAD";  xmin "-3";
%xmax "3";  xviewmin "-3.006";  xviewmax "3.006";
%yviewmin "-1.83408397899568";  yviewmax "3.83408397899568";  plottype 4;
%plotticks 1;  num-x-ticks 7;  num-y-ticks 6;  numpoints 49;
%plotstyle "patch";  axesstyle "normal";  xis \TEXUX{x};  yis \TEXUX{y};
%var1name \TEXUX{$x$};  var2name \TEXUX{$y$};
%function \TEXUX{$1+\frac{\left\vert x\right\vert }{x}\sqrt{x^{2}-1}$};
%linecolor "black";  linestyle 1;  pointstyle "point";  linethickness 1;
%lineAttributes "Solid";  var1range "-3,3";  num-x-gridlines 100;
%curveColor "[flat::RGB:0000000000]";  curveStyle "Line";  rangeset "X";
%valid_file "T";
%tempfilename 'Include/hmagge04.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0cm}{\parbox[b]{7.027cm}{\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=5.0742cm,
width=7.027cm
]%
{Include/11868358261233__5.eps}%
}\\
Figure 5: $f(x)=1+\frac{\left\vert x\right\vert }{x}\sqrt{x^2-1}$
\end{center}}}%
%EndExpansion
$

$%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpFUX}{7.027cm}{5.0742cm}{0cm}{\Qcb{Figure 6: $%
%f(x)=\frac{\left\vert x\right\vert }{x}(1+\sqrt{x^2-1)}$}}{}{Plot}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "MAPLEPLOT";  width 7.027cm;
%height 5.0742cm;  depth 0cm;  display "USEDEF";  plot_snapshots TRUE;
%mustRecompute FALSE;  lastEngine "MuPAD";  xmin "-3";  xmax "3";
%xviewmin "-3.006";  xviewmax "3.006";  yviewmin "-3.83608397899568";
%yviewmax "3.83608397899568";  plottype 4;  plotticks 1;  num-x-ticks 7;
%num-y-ticks 8;  numpoints 49;  plotstyle "patch";  axesstyle "normal";
%xis \TEXUX{x};  yis \TEXUX{y};  var1name \TEXUX{$x$};  var2name \TEXUX{$y$};
%function \TEXUX{$\frac{\left\vert x\right\vert }{x}(1+\sqrt{x^{2}-1)}$};
%linecolor "black";  linestyle 1;  pointstyle "point";  linethickness 1;
%lineAttributes "Solid";  var1range "-3,3";  num-x-gridlines 100;
%curveColor "[flat::RGB:0000000000]";  curveStyle "Line";  rangeset "X";
%valid_file "T";
%tempfilename 'Include/hmagge05.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0cm}{\parbox[b]{7.027cm}{\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=5.0742cm,
width=7.027cm
]%
{Include/11868358261233__6.eps}%
}\\
Figure 6: $f(x)=\frac{\left\vert x\right\vert }{x}(1+\sqrt{x^2-1)}$
\end{center}}}%
%EndExpansion
$%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


les courbes sont clairement en \guilsinglleft deux morceaux\guilsinglright ;
la \guilsinglleft coupure\guilsinglright \ n'est que suivant l'axe des
abscisses dans le premier, suivant l'axe des abscisses et suivant l'axe des
ordonn\'{e}esdans le second alors que dans la figure 4 elle est suivant l'axe
des ordonn\'{e}es; ce qui n'a pas les m\^{e}mes cons\'{e}quences pour notre
raisonnement sur la d\'{e}termination du nombre de solution de l'\'{e}quation
$f(x)=k.$ D'o\`{u} la d\'{e}finition:

\begin{definition}
Etant donn\'{e} une fonction $f$ et un intervalle I \textbf{ouvert} inclus
dans $\mathcal{D}_{f}$ on dit que:

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est continue en un point $a$ de I si:

\begin{itemize}
\item $f$ est d\'{e}finie en $a$ ($f(a)$ existe).

\item $\underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=f(a).$
\end{itemize}

\item La fonction $f$ est continue sur l'intervalle I si $f$ est continue en
tout point $a$ de I.\newpage
\end{enumerate}
\end{definition}

\subsection{Cons\'{e}quences}

\begin{itemize}
\item La courbe d'une fonction continue sur un intervalle (ouvert) est
\guilsinglleft d'un seul morceau\guilsinglright \ sur cet intervalle.

\item L'\'{e}tude de la continuit\'{e} en un point, ou sur un intervalle, qui
n'appartient pas au domaine de d\'{e}finition (de la fonction) \textbf{n'a
aucun sens}.

\item Il r\'{e}sulte directement de la d\'{e}finition de la continuit\'{e} et
des th\'{e}or\`{e}mes sur les op\'{e}rations sur les limites que:\smallskip

\begin{itemize}
\item \emph{La somme (ou la diff\'{e}rence) de deux fonctions continues est
continue.}

\item \emph{Le produit de deux fonctions continues est continue.}

\item \emph{La compos\'{e}e de deux fonctions continues est continue.}
\end{itemize}
\end{itemize}

\section{A vous de "jouer"}

\begin{exercise}
Etudier la continuit\'{e} des fonctions correspondant aux Figures 1, 2, 3, 4,
5, 6.
\end{exercise}

\begin{exercise}
[{\small la fonction partie enti\`{e}re}]Pour tout r\'{e}el $x$ il existe un
unique entier $n$ tel que $n\leq x<n+1$ ($n$ est le plus grand entier
inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $x$). Cet entier $n$ est appel\'{e} la
\emph{partie enti\`{e}re} de $x$, on la note $E(x).$
\end{exercise}

Par exemple,$E(\pi)=3,$ $E(-3.5)=-4,$ $E(\frac{2}{3})=0.$

\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $E$ sur $\left]
-5;5\right[  .$

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble des points de $\left]  -5;5\right[  $ en lesquels $E$
est discontinue\footnote{qui n'est pas continue !}.

\item Donner trois intervalles sur lesquels $E$ est continue.

\item Prouver que $E$ n'est pas continue en $1.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{exercise}
[{\small images d'intervalle}]L'image d'un intervalle I par une fonction $f$
est l'ensemble de tous les nombres $f(x)$ quand $x$ d\'{e}crit I; on note
$f(I)$ cet ensemble.
\end{exercise}

\begin{enumerate}
\item Tracer la parabole repr\'{e}sentant la fonction $f:x\leadsto x^{2}.$
Observer que $f$ est continue sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ donc sur tout intervalle.

\item Quelle est l'image par $f$ de l'intervalle $I=\left[  0;2\right]  $? de
l'intervalle $\left[  -2;2\right]  $? de l'intervalle $\left[  -2;4\right]  $?
de l'intervalle $\left]  -\infty;2\right]  $? de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$?
\end{enumerate}

\textbf{Conclusion-th\'{e}or\`{e}me: }\emph{Nous admettrons que l'image d'un
intervalle par une fonction }\underline{\emph{continue}}\emph{\ est un
intervalle.}


\end{document}