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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1135754674313--
%%--Géométrie complexe--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct
$(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$. On prendra pour unit\'{e}
graphique $5$cm. On d\'{e}signe par $A$ et $K$ les points d'affixes
respectives $1$ et $1+i$, et par $I$ et $J$ les points d'affixes respectives
$i$ et $-i$.\newline On rappelle que, si $P$, $Q$ et $R$ sont trois points
quelconques du plan, distincts et d'affixes respectives $p$, $q$ et $r$, on a
l'\'{e}galit\'{e} :
\[
(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})=\text{arg}\left(  \frac{r-p}%
{q-p}\right)  \qquad(\text{modulo }2\pi)
\]


\begin{enumerate}
\item On d\'{e}signe par $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On
consid\`{e}re sur ce cercle un point $N$ distinct de $I$ et $J$. On note $t$
une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{ON})$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $INJ$ ?

\item Montrer que, pour tout r\'{e}el $t$ tel que $t\neq\pi/2+k\pi$ (o\`{u}
$k$ est un entier relatif), le nombre complexe :
\[
\frac{e^{it}+i}{e^{it}-i}%
\]
est imaginaire pur.
\end{enumerate}

Dans la suite, on d\'{e}signe par $C$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.

\item On nomme $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi/2$. Tracer $C$ et
son image $C^{\prime}$ par la rotation $r$ sur une m\^{e}me figure, qui sera
compl\'{e}t\'{e}e par la suite.

\begin{enumerate}
\item On note $M^{\prime}$ l'image par $r$ d'un point quelconque $M$ du plan.
Exprimer l'affixe $z^{\prime}$ de $M^{\prime}$ en fonction de l'affixe $z$ de
$M$.

\item D\'{e}terminer l'ant\'{e}c\'{e}dent $H$ de $K$ par $r$.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, $M$ est un point quelconque du cercle $C$, distinct
de $H$ et de $K$. On note $t$ une mesure de l'angle $(\overrightarrow
{u},\overrightarrow{AM})$. Ainsi l'affixe $z$ de $M$ s'\'{e}crit :
$z=1+e^{it}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\[
\frac{z^{\prime}-(1+i)}{z-(1+i)}=i\frac{e^{it}+i}{e^{it}-i}%
\]


\item Montrer finalement que les points $M$, $K$ et $M^{\prime}$ sont align\'{e}s.

\item En d\'{e}duire une construction de $M^{\prime}$ connaissant $M$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}