//Tracé de la fonction x---> (x*log(x)) ./ (x+1)
dm1=scf(0);
dm1.figure_name='Étude de  fonction';

a=4.5;
u=0.01:0.02:a;

//définition et tracé de la fonction f :
deff('y=f(x)','y=(x.* log(x)) ./ (x+1)')
plot(u,f(u))
//tracé de la courbe asymptote :
v=0.5:0.02:a;
plot(v,log(v),'g:')

//définition de phi' et calcul approché de beta :
deff('y=phiprime(x)','y=log(x)+x+1')
w=0.1:0.01:0.3;
B=find(abs(phi(w))<0.02)
bb=w(B);// valeur approchée de beta
disp('beta ='+string(bb))
plot([bb,bb],[0,f(bb)],'k:')
plot(bb,f(bb),'r*') //représentation de beta sur le graphique
xstring(bb-0.05,0.01,"$\Large{\beta}$")

//Tracé des axes et de la droite d'équation y=1 :
plot([0,a],[0,0],'k')
plot([0,a],[1,1],'k:')
plot([0,0],[0,f(a)],'k')

//définition de g, calcul approché de  beta :
A=find(abs(g(v)-v)<0.012), 
disp(v(A))// valeur approchée de alpha
aa=v(A); disp(g(aa))
plot([aa,aa],[0,f(aa)],'k:')
plot(aa,f(aa),'r*') //représentation de alpha sur le graphique
xstring(aa-0.05,-0.12,"$\Large{\alpha}$")



//Calcul de u6 avec une boucle for :
n=6;
u=3.5;
for k=1:n do
    u=g(u)
end
disp(u)

//Calcul d'un rang n (n=2p) pour lequel 0<u_{2p+1}-u_{2p}<0.001, à l'aide d'une boucle while :
u=3.5;U=g(u);p=0;
epsilon=10^(-3);
while U-u>epsilon do
    u=g(U);
    U=g(u);
    p=p+1;
end
disp('u_'+string(2*p)+' = '+string(u)+' ; u_'+string(2*p+1)+' = '+string(U)+' ; u_'+string(2*p)+' <alpha< u_'+string(2*p+1))

h=legend(['f','$\ln$'],2)
